矩阵值因子模型的长期最优投资

这里，矩阵C引入了一般的相关结构，并允许其依赖于状态变量X.2.3。最优投资问题。考虑一个投资者，其偏好由概率函数U:R描述+→ 严格递增、严格凹、连续变化且满足INDA条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 特别是，我们特别关注具有恒定相对风险厌恶（此后CRRA）U（x）=xp/p的实用程序，0 6=p<1。从初始资本开始，该投资者在市场上交易，直到时间范围T∈ R+。她把自己财富的一部分（πt）t≤Tinto将风险资产和剩余部分转换为无风险资产。考虑到她的策略π，（2.7）和（2.8）中的价格动态意味着财富过程wπ具有动态（2.10）dWπtWπt=（r（Xt）+π′t∑（Xt）ν（Xt））dt+π′tσ（Xt）dZt。容许策略集是那些π是F适应的，并且使得Px[Wπt>0，t型≤ T]=1表示所有x∈ Sd++。在下面的（A.1）中，构造了正s超鞅M，使得M Wπ是任何可容许策略π的一个超鞅。在存在这种超鞅定义的情况下，套利被排除在模型之外（参见[33]）。投资者通过选择可接受的策略，即（2.11）e[U（WπT）]，寻求最大化其终端财富在T的预期效用→ Max.在本节的其余部分，我们将重点讨论CRR的最优投资问题，并通过启发式参数推导出相关的HJB方程。为此，通过（2.12）supπ容许值确定函数v的（减少）值p（WπT）pWt=w，Xt=x=pwpev（T-t、 x），0≤ t型≤ T、 w>0，x∈ Sd++。将L设置为（2.1）的最小生成器：（2.13）L：=dXi，j，k，L=1Traij（akl）\'D（ij），（kl）+dXi，j=1bijD（ij），矩阵值因子模型中的长期最优投资7，其中D（ij）=xijand D（ij），（kl）=xijxkl。

标准动态规划参数为v提供了以下HJB公式：tv=Lv+dXi，j，k，l=1D（ij）vTraij（akl）\'D（kl）v+pr+supπpπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）v+p（p- 1)π′Σπ, t>0，x∈ Sd++，0=v（0，x），x∈ Sd++。（2.14）前面方程中的op-timizerπ可以逐点获得，并由（2.15）π（t，x；v）给出：=1.-p∑-1.∑ν+Pdi，j=1σCaijρD（ij）v（t，x），m>n1-pσ（σ′σ）-1.σ′ν+Pdi，j=1CaijρD（ij）v（t，x），m≤ n、 t>0，x∈ Sd++。定义q：=p/（p- 1） 作为p和函数Θ：Sd的共轭++→ Sd++通过（2.16）Θ（x）：=σ′Σ-1σ（x）m>nmm≤ n、 x个∈ Sd++。将（2.15）中的π公式插入（2.14）中，经过长时间的计算，得出了v的以下半线性Cauchy问题：vt（t，x）=F[v]（t，x），0<t，x∈ Sd++，v（0，x）=0，x∈ Sd++。（2.17）这里，微分算子F定义为（2.18）F：=dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1'bijD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）'A（ij），（kl）D（kl）+V，带A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（x） ，\'A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（十）- qρ′（aij）′C′Caklρ（x），\'bij（x）：=bij（x）- qν′σCaijρ（x），V（x）：=pr（x）-qν′∑ν（x），i，j，k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。（2.19）注意，πin（2.15）和F in（2.18）根据m>n或m采取不同的形式≤ n（两种形式在m=n时重合），使用L f的定义，从（2.13）我们得到（2.20）f=L- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）(R)A（ij），（kl）D（kl）+V。在第3节中，在适当的参数假设下，证明了（2.17）的适定性，并证明了（2.17）的解V，在适当的增长约束下，是（2.12）中矩阵值因子模型的长期最优投资。此外，（2.12）的最优策略由（2.21）πTt：=π（T）给出- t、 Xt；v） ，0≤ t型≤ T、 对于π（·，·；v），从（2.15）开始。2.4. 长期收敛。

如导言所述，本文关注最优投资问题的大时间行为。CRRAinvestor的这种行为与（2.17）的遍历模拟密切相关，由λ=F[v]（x），x给出∈ Sd++。（2.22）将（2.22）的解定义为一对（λ，v），其中λ∈ R和v∈ C（Sd++；R），满足（2.22）。因为F[v]只依赖于v的导数，所以溶液中的v只能在加和常数下确定。特别是，我们对最小λ感兴趣，使得（2.22）允许一个解。在长期最优投资和风险敏感控制问题的研究中，当状态变量为E Rd，在适当的限制条件下【31，23】，存在一个最小的^λ，例如（2.22）有一个解^v，这样，考虑增长率的候选缩减长期值函数为^λT+^v（x）。候选长期最优策略为（2.23）^πt：=π（Xt；^v），t≥ 0，其中π（·；^v）来自（2.15），v替换为没有时间参数的^v。现在，当状态变量是矩阵值时，下面的命题3.9确定了这种（λ，v）的存在性。比较有限和长期问题，我们有兴趣证明以下说法：声明2.7（长期收敛）。i） 定义h（T，x）：=v（T，x）-^λT- ^v（x），对于T≥ 0和x∈ Sd++。然后（T，·）→ C和h（T，·）→ C（Sd++）中的0，作为T→ ∞.这里C是一个常数， = （D（ij））1≤i、 j≤对于梯度算子，C（Sd++）中的d收敛表示Sd++中的局部一致收敛。ii）作为x的函数∈ Sd++有限期策略与长期对应策略（即limT）趋同→∞π（T，·；v）=C（Sd++）中的π（·；^v）。iii）让πTand^π如（2.21）和（2.23）所示。设wt和^W分别是从初始资本W开始采用π和^π的财富过程。

那么对于所有x∈ Sd++和所有t≥ 0：像素- 限制→∞sup0≤u≤t型WTu^Wu- 1.= 0，（2.24）像素- 限制→∞Zt（πTu- ^πu）′∑（Xu）（πTu- ^πu）du=0。（2.25）此处为Px- lim代表在概率Px中的收敛。在声明2.7中，i）声称有限地平线p问题的约化值函数收敛于其有限地平线对应物；此外，ii）表明有限期最优策略也以反馈形式收敛到短视的长期极限。除这些分析结果外，iii）概率收敛状态：即矩阵值因子模型9中的最优财富过程长期最优投资与最优策略之间的距离之间的比率，当在有限时间窗口[0，t]中测量时，概率收敛为零。因此，当报表2.7成立时，视野较长的CRRA投资者可以稍微修改其最优策略πTto^π，在投资期开始时，会导致财富和效用的最大损失。事实上，在适当的参数假设下，当状态变量为R值且d与风险集具有常数相关性时，在[22]中证明了陈述2.7。在下面的第3节中，我们将在矩阵设置中验证语句2.7。2.5. 俄勒姆高速公路。为了说明收费公路的结果，我们考虑了两个投资者：第一个是关于满足第2.3节开头条件的一般效用函数u的投资者；第二个投资者的CRRA效用U（x）=xp/p为0 6=p<1。这两个投资者通过其边际效用U′（x）/xp的比率联系在一起-1根据以下假设：假设2.8。R（x）：=U′（x）/xp-由此得出（2.26）limx↑∞R（x）=1。假设2.8确保两位投资者对大型财富的偏好相似。下一个假设确保了第2.2节中描述的市场随着时间的推移而增长。假设2.9。

对于（2.7）中的r（x），存在常数0<r<r，因此r≤ r（x）≤ 所有x的r∈ Sd++。为了呈现收费公路结果，对于具有一般效用U的投资者，设定π1，Tas为（2.11）的最优策略，W1，Tas为从初始财富w开始的相关最优财富过程。我们有兴趣证明收费公路理论：报表2.10（收费公路理论）。对于所有x∈ Sd++和所有t≥ 0，像素- 限制→∞supu公司≤t型W1，Tu^Wu- 1.= 0，（2.27）像素- 限制→∞Zt公司π1，Tu- ^πu′∑（Xu）π1，Tu- ^πudu=0，（2.28），其中^π来自（2.23），而^W是从W开始，然后是^π的财富过程。上述t趋同表明，当在有限时间窗口内衡量时，一般投资者的最佳财富过程与CRRAinvestor的长期财富过程的比率在概率上一致接近1，因为期限变大。第二次趋同背后的信息是，随着时间跨度变长，一般公用事业投资者的最佳投资策略接近CRRA投资者的长期限额策略。使用[22]中的术语，这种结果被称为“显式”tur npike，其中陈述2.10在具有R值状态变量和常数相关性的因子模型中得到证明。在下面的第3节中，我们将把这个结果推广到状态变量为矩阵值时。这里排除了对数效用情形，因为【22，命题2.5】已经表明收费公路理论应在一般半鞅设置中，包括当前情形。10矩阵值因子模型的长期最优投资标记2.11。报表2.7和2.10不适用于具有矩阵值状态变量的模型。如引言所述，证实这些陈述的主要技术是【43】中（2.14）的大时间渐近分析。

特别是，在[43，第2节]中介绍了一个一般框架，其中获得了一般状态空间E的收敛结果（参见其中的定理2.9和2.11）。其中的主要信息是，当存在两个“Lyapunov”函数φ和ψ并满足适当的假设时，则所需的收敛结果成立。在指定状态空间时，φ和ψ的假设转化为明确的参数限制。特别是，当状态空间为Rd时，这些参数限制在【43，第3.1节】中给出。因此，在这种情况下，对语句2.7和2.10的证明遵循与矩阵情况基本相同的推理路线，事实上更为简单。3、主要结果3.1。（广义）Wishart因子模型。在第2.1节中给出一般矩阵设置的结果之前，让我们强调一下示例2.4中的情况，即en X是Wishart过程。我们将第2.2节中的财务模型规定为：m=d，C（x）=1d，d（x）=p1- ρ′ρ（x）1d，r（x）=r+Tr（rx），σ（x）=ζ（x）√x、 u（x）=ζ（x）xζ′（x）ν（x）；对于x∈ Sd++，其中r∈ R和R∈ Md.我们假设ν∈ C1，γ（Sd++；Rn），ζ∈ C2、γ（Sd++；Mn×d）和ρ∈ C2，γ（Sd++；Rd）都是有界函数和supx∈Sd++ρ′ρ（x）<1。当这些函数不是常数时，与[8、27、2、42]相反，前面的模型不是一个函数。对于给定σ，假设2.5采用形式假设3.1。i） 当d>n时，x的ζζ′（x）>0∈ Sd++。ii）当d<n时，x的ζ′ζ（x）>0∈ Sd++。iii）当d=n时，对于x，ζ（x）=ζ′（x）>0∈ Sd++。以下命题在明确的参数限制下验证了当前模型中的陈述2.7和2.10。命题3.2的证明见附录C命题3.2。假设3.1成立。

假设以下参数限制：i）LL′>（d+1）∧∧′>0。ii）当p<0时，rsatis fies r+r≥ 0且存在>0，使得-p（r+r′）+qζ′νν′ζ（x）≥ 1d，x∈ Sd++；或（K- q∧ρν′ζ）（x）+（K- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++。iii）当0<p<1时，存在>0，使得（K- q∧ρν′ζ）（x）+（K- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++；和（3.1）>8（1- q）√d TrΛΛ′supx公司∈Sd公司++p（r+r′）- qζ′νν′ζ（x）.矩阵值因子模型的长期最优投资11然后，报表2.7中的长期收敛结果成立。此外，当r=0时，语句2.10中的Turnpike定理适用于满足假设2.8的所有效用函数U。在前面的参数限制中，第i部分）略强于适定性条件（2.6）。p<0病例的限制是轻微的。当r+r′>0时，它如下-p（r+r′）+qσ′νν′σ（x）≥ 自qζ′ν′ζ起，对于某些>0≥ 因此，第二部分）成立。当r+r′为非负但可能退化时，考虑一个（广义）Wishart进程x和dynamicsdXt=LL′+K（Xt）Xt+XtK（Xt）′dt+qXtdBt∧′+dB′tqXt，其中K（x）：=K- q∧ρν′ζ（x）。然后我们要求X是均值回复，以验证第二部分）。当0<p<1时，我们要求均值回复力足够强。在这种情况下，（3.1）是必要的，因为电势V（x）=pr+pTr（rx）-qν′ζ（x）xζ（x）′ν=pr+Trx（p（r+r′）- qζ′νν′ζ（x））,如果在Sd++上从上方进行ormly绑定，则不能为un。3.1.1. 一个明确的长期最优策略和一个反例。我们现在关注“经典”Wish-art模型，其中前一节中的ρ、ν和ζ是分别取Rd、Rnand Mn×d值的常数。这里，可以证明，如果Wishart过程的维数d小于或等于风险资产的数量n，则解v到（2.22），且λ最小，是x的一个函数：即。

对于满足以下（3.3）中给出的R-iccati方程的对称矩阵^mS，直到加性常数，^v（x）=Tr（^Mx）。然而，令人惊讶的是，如果d>n，则^v可能不是a ffene，因此（2.23）中的^π也不是a ffene。这是由于矩阵积的非交换性质。为了简化表述，我们假设p<0，r+r′>0。因此，如果LL′>（d+1）∧∧′>0且常数矩阵ζ满足假设3.1，则命题3.2遵循。我们考虑由（3.2）v（x）=Tr（M x），M=M′给出的（2.22）的候选解。首先，当d≤ n： 提案3.3。假设d≤ n和ρ，ν，ζ是常数。设ζ满足假设3.1，且假设p<0，r+r′>0，LL′>（d+1）∧∧′>0。考虑以下矩阵Riccati方程，单位为M：（3.3）0=2M∧（1- qρρ′）∧′M+（K- q∧ρν′ζ）′M+M（K- q∧ρν′ζ）+p（r+r′）- qζ′νν′ζ.存在唯一的^M∈ SDE解算（3.3），使得（λ，v），λ=Tr（LL′M）+prand^v（x）=Tr（^Mx），解算（2.22），且λ是伴随v的最小λ。该SDE允许唯一的全局强解x。这是因为H（x；b）≥ 2TrK（x）由于ρ、ν和ζ在Sd++上的有界性假设，它从下面统一边界。因此，存在性源自【37，定理3.4】。我们可以假设M=M′，而不损失一般性，因为x∈ Sd++表示Tr（Mx）=Tr（M′x）=（1/2）Tr（（M+M′）x）。12矩阵值因子模型的长期最优投资我们接下来在d>n的情况下给出一个反例，说明（λ，v）到（2.22）的解不能是（3.2）中的一种形式。然而，命题3.2仍然保证了（2.22）解的存在。示例3.4。取n=1，d=2，∧=1，L=l1用于l >√3，K=1，C=1，ζ=1 0, ν = ν ∈ R、 ρ=ρ1 1′对于0<2ρ<1，r>0，r=r或r>0。（3.4）考虑（3.2）中的函数v。

编写泛型元素X∈ Sd++和矩阵M为（3.5）X=X yy z！，x、 z>0，y<xz，M=毫米！，我们得到∑（X）=ζXζ′=X>0，因此假设3.1成立。Fur thermore，LL\'- 3ΛΛ′=(l- 3） 1>0，对于p<0，-p（r+r′）+qζ′νν′ζ（x）≥ -2pr>0。因此，建议3.2的假设适用于p<0。冗长的计算表明（参见附录B中的L emma B.2）F[v]=x2（米+米）- 2qρ（M+M）+2M-2qρν（M+M）+pr-qν+ y4M（M+M）- 4qρ（M+M）（M+M）+4M- 2qρν（M+M）+ z2（M+M）+2M+pr+yx公司-2qρ（M+M）+ pr+l（M+M）。（3.6）从下面引理B.1中的（B.4）中可以看出，在评估“Afrom”（2.19）时，出现了问题项y/x，因为对于d>n：（3.7）√XΘ（X）√X=Xζ′（ζXζ′）-1ζX=xX！1 0X=X yyyx！；然而，对于任意模型系数，如果d≤ n那么√XΘ（X）√X=X。因此，对于某个常数λ，如果F[v]=λ，则（3.6）中X，y，z，y/X的每个系数必须等于零。通过考虑y/x，可以得出M+M=0。将其插入y的系数中，得到M=0，因此M=0。那么z为零的系数产生0=pra矛盾，因为r>0。因此，函数^v不能是一个函数。3.2. 一般状态变量。我们现在考虑一般情况，当X h为（2.1）中的动力学时，除了上述正则性限制外，模型系数满足假设2.1和2.3。如前一节所述，目标是根据模型系数提供条件，在该条件下，报表2.7和2.10适用。为了列出系数假设，假设f、g如（2.2）所示，b、V如（2.18）所示，并从（2.3）中回忆Hδ（x；b）。下面的假设3.5给出了一些主要收敛结果适用的限制条件。虽然下面的列表很长，但可以很容易地检查特定的兴趣模型。矩阵值因子模型中的长期最优投资13假设3.5。

存在n>0，因此kxk保持以下状态≥ n： 1）“b最多呈线性增长。2） 存在α>0，因此Tr（f（x））Tr（g（x））≤ αkxk。3） T存在β∈ R、 C>0，以便Tr\'b（x）\'x≤ -βkxk+C.4）T此处存在γ，γ∈ R和C>0，以便-γkxk- C≤ V（x）≤ -γkxk+C。对于kxk，V（x）从上方均匀分布≤ n、 5）最大{γ，β}>0。此外，如果γ>0，β≤ 0，则存在α>0，C∈ R使Tr（f（x）xg（x）x）≥ αkxk- C、 ii）如果γ<0，β>0，则β+16καγ>0，其中α来自第2部分），当p<0时，κ=1，且κ=1- 当0<p<1时q。iii）如果γ≥ 0，β>0，则无需附加限制。存在ε，c，c>0，使得a）infx∈Sd++Hε（x；(R)b）>-∞ （注意：这里我们使用的是“b”，而不是（2.3）中的b）。B） lim infdet x↓0Hε（x；\'b）+堵塞（det x）> -∞ .C） 边缘x↓0H（x；\'b）+cV（x）= ∞.备注3.6。当p<0且利率函数r（x）在Sd++（例如r（x））上有界时≥ 0），然后是γ≥ 0，因此是复杂的第5部分-ii）在假设中，不需要3.5。假设3.5中的参数限制与命题3.2中的参数限制具有类似的解释。事实上，考虑一个Sd++值的微分X，其动力学：（3.8）d'Xijt='bij（'Xt）dt+Traij（(R)Xt）dW′t, i、 j=1，··，d。与（2.1）相比，漂移调整为“b”。给定的规律性假设和第1）部分和第2）部分意味着“X”的系数为局部Lipschitz系数，且最多呈线性增长。另一方面，由于（2.4）中的第二个不等式，Hδ在δ中减小。因此，A）部分意味着H（x；(R)b）在Sd++上从下方有界。因此，假设（3.8）中的2.1特定toX成立，【37，定理3.4】确保（3.8）具有唯一的全局强解。在假设3.5第3）部分和第4）部分中，如果β>0，则'X为均值回复，如果γ>0，则电势V衰减为-∞ 统一为kxk→ ∞. 因此，第5部分要求均值回归或衰减势。