退休时的最优股票下滑路径

PNR的对角Hessian元() = P（RUNC(≤ TD）从（3.9）和（4.10）中形式：H,… ,α2.vαe,d.（4.23）（4.26）（4.24）（4.25）（4.27）在采用衍生工具（见附录D）时，Ht，tC可写为：H,Q*…,h类,dQ*…,h类,dQ* … ,d式中，Qθ2伏α2伏αm级αvα*θ,对于t型1,2，…，T,h类,,m级α2伏αvαm级αθvα2伏αvαm级αθ,,对于∞,∞和，Qvα2伏αm级α2伏α,对于t型1,2，…，T,h类,v′α2伏α,m级αm级α,m级αvαv′α2伏αm级α,,对于∞,∞和，Qvαvαvα2伏αm级α2伏α2伏αm级αvα*θ,对于t型1,2，…，T,θvαvα2伏α,对于t型1,2，…，T.（4.28b）（4.34）（4.33）（4.32）（4.31）（4.30）（4.29）（4.28c）（4.28a）数量θ已单独定义，因为初步检查表明H,是未定义的αtwhereθ= 0，请参见（4.29）、（4.30）和（4.33）。幸运的是，情况并非如此（然而，westill在代码中不能被零除）。术语h, 是不确定的(∞/∞) 当θt→由于分子和分母接近∞ 在相同的多项式速率下，L′H^opital\'srule表明极限接近最高阶项上的系数比，这里是1，剩下H, = ,.

此外，作为θt→ 0，从（4.28[a，c]）中选择项，接近以下不确定形式（0/0），最终消失：2vαm级αvα*θ*PNR公司PNR公司.对角线Hessian元素Ht，t，in（4.28[a-c]）用h表示,和h, 因为它们是有效的PDF（见附录E和F）。因此，Ht，tfort=1，2，…，TDI是有效成功概率的线性函数，因此它是存在的。这验证了（3.6）中莱布尼茨规则的应用。与之前一样，我们可以使用模拟或DP来估计/近似这些概率。（4.28c）中的术语[·]为PNR(), 我们假设已经计算出了两个新的滑翔道成功概率，为每个数据集Ht，t计算。

使用DP需要以下CDF用于h, 和h,,用H（）表示,)  =  Ph1（,≤  r） 对于,~ h类(,) 和H（,)  =  Ph2（,≤  r） 对于,~ h类(,), 分别（见附录G和H）：,P,H,H,1.1.,,m级α2伏αH,1.,m级α2伏αH,Φm级αvα,式中，（4.35）（4.36）H,vα2伏αvαm级αθ,H,vα,H,2伏αvαm级αθ√,和H,2伏αvαm级αθ,和,P,H,H,1.1.,,m级α2伏αH,1.,m级α2伏αH,1.1.,,m级α2伏αH,1.,m级α2伏αH,Φm级αvα,其中，H,v′α2伏αm级α,H,3v′α,H,m级αv′α2伏α√,H,2伏αm级αv′αH,m级αv′αvα√2.,和H,vα.如前所述，数量,是当m（αt）时等于1的指示函数∞,否则为0。CDF, 和,对于PDF h(,) 和h(,) 将自己作为已知CDF调用的线性组合，在实践中实现起来很简单。（4.37）（4.38）（4.39）D.解的特征在第3节中，我们注意到最小化凸可行区域上的凸函数Z被视为凸规划问题，在此类问题中，局部最优值是全局最优值。由于最小化Z相当于最大化–Z，因此在凸可行区域上最大化凹函数本身就是一个凸规划问题。通过简单转换，我们可以证明在凸可行区域上最大化对数凹函数也是一个凸规划问题（Lovász和Vempala（2006））。

这同样适用于凸可行域上的严格拟凹函数的最大化。在凸可行域上最大化一个拟凹函数几乎是一个凸编程问题，但并不完全是一个凸编程问题，但仍然具有理想的性质。这是直观的，因为准凹函数可以有零梯度的平台，但函数在之后再次增加。（3.1）中定义的问题是最大化Z=PNR() 在凸区域上，这里的目标是确定PNR() 落在长度为Td的报废期的凹函数谱上，回收率WR=RF（0）。提款率必须合理() → 1.0作为RF（0）→ 0.0和PNR() → 0.0作为RF（0）→ ∞.  在这些极限下，所有的滑翔道都会成功或失败。最后，如果我们能证明PNR() 不总是准凹的，则不总是落在第二节中定义的谱上。N使用本文提出的技术找到的解决方案可能反映局部最优。从（2.68）、（3.1）和（4.10）中，我们得到：PNR√2.vαe∑,d,对于∞,∞,中压αα1.0，且t=1，2，…，TD。加德纳（2002）详细阐述了普雷科帕·莱因德勒不平等的以下后果。换句话说，如果一个多变量的对数凹函数在一个开放凸集上有一些积分，那么剩余变量中的结果函数本身就是对数凹函数。因此，如果我们可以证明（4.40）的核在和, 我们已经完成了，因为它显示在第二节中。M表示是一个开（4.40）凸集。不幸的是，事实并非如此。事实上，我们可以通过反例证明，（4.40）的核对于所有合理的Td和RF（0）都不是准凹的，因此不能属于凹的。

这并不奇怪，因为log[PNR()] 对于选择RF（0），当TD=1时，显示其有拐点。根据（4.10），我们假设, ~ iid N（m（αt），v（αt）），因此,=vα*zt+m（αt），其中zt~iid N（0，1），对于t=1，2，…，TD。此外，从（2.68）中得出的避免退休时财务破产的通货膨胀/费用调整收益集可以用标准化收益表示为，其中：={z，z，…，zTD：z采埃孚t型1.}带，ZFt型1.射频t型1.m级αvα和，RFt型射频t型1.vα*zm级α射频t型1.,对于t=1，2，…，TD。根据该公式，（4.40）可表示为：PNR√2.e∑d.（4.44）中的核现在是对数凹的，因为zt/2是凸的，因此-zt/2是凹的，而对数凹函数的乘积是对数凹的（Boyd和Vandenberghe（2004））。然而，集合不是凸的，因此这种重新表述不能帮助我们应用普雷科帕定理，但它将允许取得足够的进展。功能PNR() 从TD=1开始，将逐案分析（4.44）中的增加退休期限长度。还没完成，但差不多了。对于某些提取率WR=RF（0）和水平长度TD，函数可以是对数凹面，但峰值在我们的可行区域之外。在这种情况下，我们将使用梯度上升或牛顿方法沿边界操作。在边界处，坡度将继续指向最陡的上升方向，但约束条件阻止我们沿着特定维度向该方向攀爬。（见第IV.E.8节。）（4.41）（4.42）（4.43）（4.44）案例1：TD=1对于单期退休，如果z>ZF（0）且概率为PNR，则可以避免财务破产α√2.edz公司.表明PNR（α) 是严格拟凹的，只要证明ZF（0）在α中是严格拟凸就足够了.

这是因为我们在计算α函数右边的概率。如果在两个α的任何凸组合处计算的该函数不是最大值，则相应的概率不能是最小值。设α和α为MV（α）和1.0之间的两个公平比率，αc1反映凸组合λα+（1-λ）α0≤ λ ≤ 此外，让ZF（0）、ZF（0）和ZFc（0）分别为标准化提款率。根据定义，如果ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}，则ZF（0）是严格拟凸的 α、 α、λ和RF（0）。只有当某些RF（0）>0时，ZF（0）的局部最大值在MV（α）和1.0之间时，才能违反此条件。各种RF（0）=WRI的ZF（0）曲线图如下图3所示。ZF（0）的局部最优值将出现在一阶导数等于零的临界点上，为了证明我们的猜想，我们必须证明这些点总是反映MV（α）和1.0之间的局部极小值。ZF（0）对α的一阶导数由下式得出：α采埃孚0m级α射频vαvαm级αvα,当：m级α射频vα2伏αm级α0.使用（4.3）、（4.4）、（4.6）和（4.7）中推导的表达式求解α的该方程。下面的单临界点α*：α*μμσ1.μ射频01.Eσ,σ1.μ射频01.Eσσ2σ,μμσ,σ.（4.45）（4.46）（4.47）（4.48）图3单期退休期的标准化提取率该图描述了标准化提取率ZF（0）作为各种初始提取率RF（0）（=WR）在t=1时的权益比率α的函数。通过证明ZF（0）是严格拟凸的，我们证明了PNR（α）对于单周期退休是严格拟凹的。大点表示局部最小值，重要的是，MV（α）和1.0之间没有局部最大值。

由于不存在局部极大值ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}和ZF（0）对于单周期退休（TD=1）作为α的函数是严格拟凸的。临界点α*由图3中的大点表示。zf（0）对α的第二个导数由以下人员给出：α采埃孚0m级α射频0vαvαvα2米αvαvαvα,,当在MV（α）和1.0（数值确认）之间的α*处进行评估时，其始终>0。因此，在MV（α）和1.0之间的ZF（0）的所有局部最优值都是极小值，并且ZF（0）是严格拟凸的，使得PNR（α) 严格准凹。因此，对于单周期退役，任何局部最优下滑道也是全局最优的。案例2：TD=2对于2期退休，如果（z>ZF（0））可以避免财务破产∩ z> ZF（1）），其中包含概率：PNR√2.e∑dz公司dz公司.如果该概率至少是准凹的，则该概率落在凹函数谱上.  情况如下图4所示。对于合理的TDR和RF（0），PNR() ≥ 最小{PNR(),PNR公司()}, 0≤ λ ≤ 1必须保持在以下位置：αα,αα,ααλα1.λαλα1.λα.（4.50）（4.49）（4.51）图4两段退役期滑道的比较该图以图形方式描绘了（4.50）两条滑道, 和给定的凸组合.  当（z，z）落在每条曲线的上方和右侧时，可以避免失效破坏，这反映了方程z=ZFi（1），对于i=1,2，c。相应的概率是每条曲线上方和右侧的节理密度的体积。体积最大的曲线代表避免破产概率最大的滑道。

这些圆代表5个标准差的密度等值线，超过99.99%的总概率包含在最大圆周围的轻描淡写框中。在比较滑道时，只需关注曲线之间的区域即可。我们可以通过构建一个如图所示的窄矩形网格来近似该区域的体积。然后，我们制定了一个确定性NLP，目标是, 和使PNR()  <最小{PNR(), PNR公司()}.  形式目标是最小化Z=PNR() - PNR公司() 以PNR为准() - PNR公司() > 解决方案Z<0将反驳PNR() 是准凹的。黑点表示交叉点，当仅比较2条滑道时，可能会有零个、一个或两个交叉点。如上所述，蓝色圆点表明集合不是凸的。也就是说，存在标准化回报（z，z）和（z，z），这两种回报对于下滑路径是成功的和,分别，但凸组合（zc1，zc2）无法用于下滑道.我们的目标是简洁地表达滑翔道成功概率的差异，然后以最小化Z=PNR为目标制定确定性NLP() - PNR公司() 主题主题编号() - PNR公司() > Z<0的解决方案使PNR的说法无效() 是准凹的，因为这意味着使用凸组合下滑道避免退休时破产的概率低于或.  这意味着，作为一个曲面，PNR具有倾斜或山谷，因此不能是单峰的。PNR的以下紧凑表达式() - PNR公司() 通常适用于TD=2时任何两条滑道之间的概率差。

将函数Fi（z）（i=1,2）定义为：Fz1.对于z采埃孚Φ采埃孚对于z采埃孚,回顾ZFi（1）=,其中RFi（1）=*是z的函数。对于任何2个滑道和,PNR公司() - PNR公司() 由：P给出Pφzφzdz公司dz公司φzφzdz公司dz公司φzFzFz,dz公司  φzFzFz,,dz公司  φzFzFz,dz公司φzFzFzdz公司EFzFz.（4.54a）（4.54b）（4.54c）（4.53）（4.52）（4.55）（4.56）为了证明这种发展的合理性，将z轴分为以下3个部分：（a）z≤  Min{ZF（0），ZF（0）}，（b）Min{ZF（0），ZF（0）}<z<Max{ZF（0），ZF（0）}，和（c）z≥ 最大值{ZF（0），ZF（0）}。在第（a）节中，没有利息卷和FzFz= 根据需要为0（4.54a）。截面（c）反映（4.54c）并包含两条曲线。外积分是关于z或z的∈[最大值{ZF（0），ZF（0）}，∞ 内部积分的形式如下： φzdz公司φzdz公司1.Φ采埃孚1.Φ采埃孚Φ采埃孚Φ采埃孚FzFz.最后，截面（b）反映了（4.54b），仅包含一条曲线。如果该曲线用于下滑道然后是Fz（4.53）中的额外项位于减号的左侧。外部整体相对于z或z∈ （ZF（0），ZF（0）），内部积分的形式为： φzdz公司1.Φ采埃孚FzFz.相反，如果该曲线用于下滑道然后是Fz（4.53）中的额外项位于减号的右侧。

外积分是关于z或z的∈ （ZF（0），ZF（0）），内部积分的形式为：φzdz公司1.Φ采埃孚Φ采埃孚1.FzFz.的预期值FzFz关于Zc，可以使用图4所示的网格技术进行近似。如果在固定点ZL<0和ZU>0之间绘制k个矩形，则矩形宽度为w=以及：EFzFzP*Fz*Fz*式中，Pr=P[ZL+（r-1）w<z<ZL+（r）w]是zfall在rthrectangle和z中的概率*（4.57）（4.58）（4.59）（4.60）（4.61）是每个矩形的中点，即z*=  ZL+（r-1）w+, 对于r=1，2，…，k。在向量表示法中，我们可以定义和:作为：ΦZwΦZ0wΦZwΦZ1.wΦZkwΦZk1.w,和:Fz*Fz*Fz*Fz*Fz1k型*Fz1k型*.然后EFzFzT*1:2.请注意是一个常数概率向量，一旦网格被打开，它就不会改变，应该先构建它。然后，可以在任何非线性解算器中公式化以下确定性NLP，例如，我们使用Excel：最小化：ZT*C： 2主题收件人：T*1： C类0对于：MV（α）<αij≤ 1.0，i=1,2，j=1,2αcj=λα1j+（1-λ）α2j，j=1,2RF（0）>0，0≤ λ ≤ 1任何解决方案Z<0都会使PNR的说法无效从（4.40）来看，是准凹的。此类具有合理WR=RF（0）的解决方案确实存在，附录I中详细介绍了一个具体示例。因此，避免退休破产的概率不一定是滑翔道的单峰函数。因此，（3.1）中的优化问题不一定是凸的，我们不能保证局部最优总是全局最优。（4.66）（4.65）（4.62）（4.63）（4.64）（4.67a）（4.67b）（4.67c）E。