资本充足率测试与金融机构有限责任

在这种情况下，所有者的盈余和所有者的违约选择权分别为K：=X+和D：=-十、-. （2.2）特别是，违约选择权D代表机构在时间T=T时违约的金额。所有者的利益与责任持有人的利益之间存在着固有的冲突。如果资产收益不足以抵偿债务，违约选择权赋予所有人离开的权利。因此，所有者将关注违约的可能性，但不关心违约的程度，即他们将更多地关注盈余K，而较少关注违约选择权D。另一方面，负债持有人将关注违约选择权，而不是盈余，因为他们会承受前者的后果，而不会从后者中获益。事实上，外部监管的一个关键目标是帮助控制金融机构可能违约的可能性和规模，从而将违约对责任持有人的负面影响降低到可接受的水平。验收集和风险度量用于形成设定资本要求的过程。通常，我们表示byR：=R∪ {±∞} 扩展实线。定义2.1。非空的可操作子集A L∞如果X，则称为验收集∈ A和Y≥ Ximply Y公司∈ A.称为凸锥的接受集是相干的。任何验收集A L∞可被视为监管机构规定的资本充足率测试：资本状况为X的机构在X∈ A.定义2.2。A映射ρ：L∞→ 如果R在下降，即如果ρ（Y），则称R为风险度量≤ 任意Y的ρ（X）≥ X，（2.3），如果setA（ρ）：={X∈ L∞; ρ（X）≤ 0}（2.4）是非空且正确的。备注2.3。

对于每个风险度量ρ：L∞→R、 集合A（ρ）是一个可接受集合。测量距离t到可接受性将操作意义赋予风险度量ρ：L∞→R、 我们需要描述如何解释量ρ（X）。在本文中，最初的重点是风险度量ρA，与特定的验收集A相关 L∞以及预先指定的交易资产S=（S，ST），初始值S>0，且非零终端收益∈ L∞+. 资产S称为合格资产。这些风险措施旨在捕捉以下运营情况：为了修改其资本头寸的可接受性，金融机构的管理层将被允许筹集资本并将其投资于S。当为正值时，数字ρa，S（X）代表需要筹集和投资的最小资本额，以使头寸X可接受。从这个意义上讲，ρA，S（X）可以解释为X到可接受性的“距离”的度量，使用资产S作为基本“尺度”。正式定义如下：定义2.4。让A L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。与A和S相关的风险度量是映射ρA，S:L∞→由ρA定义，S（X）：=infm级∈ RX+mSST∈ A.对于X∈ L∞. （2.5）如果S=（1，1Ohm) 是无风险资产，我们只需写出ρA（X）：=inf{m∈ RX+m∈ A}表示X∈ L∞. （2.6）很容易证明每个mapρA确实是一个风险度量，并满足以下S-加性属性。定义2.5。设S=（S，ST）为交易资产。A风险度量ρ：L∞→如果ρ（X+λST）=ρ（X），则R称为S-加性- λs对于所有X∈ L∞和λ∈ R（2.7）如果ρ是关于S=（1，1）的S-加性Ohm), 那么ρ被称为现金加法。备注2.6。（i） 设S=（S，ST）为交易资产。

很容易证明，如果风险度量ρ：L∞→R是S加性的，则ρ=ρA（ρ），S.（ii）如果S=（S，ST）是一般交易资产，则相应的S加性风险度量不需要精确估值或连续。完整性和连续性的条件见【10】和【11】。然而，如果STI基本上是从零开始的，那么ρA，Sis始终是固定值，并且Lipschitz连续。现金附加风险度量就是这种情况，我们也参考了[14]中的第4章。3盈余不变接受集和风险度量在本节中，我们介绍了盈余不变接受集和风险度量，认为从监管角度来看，使用资本充足率测试是合理的，因为资本充足率测试的可接受性无法通过增加金融机构的盈余来实现。剩余不变验收集定义3.1。验收集A L∞如果Y，则称为剩余不变量∈ A无论何时Y-= 十、-对于某些X∈ A.从责任持有人的角度来看，盈余不变性是一项重要的财产。事实上，假设A不是盈余不变量。然后我们可以找到位置X∈ A和Y 6∈ A带X-= Y-. 然而，负债持有人应与拥有X或Y的机构不同：如果公司违约，那么在这两种情况下，其违约金额将相同。因此，让X相对于Y可以接受的只是资产超过负债，这将由公司所有者而非负债持有人承担。因此，债务持有人的劣势（违约）将通过所有者的优势（超额收益）得到补偿。备注3.2。L中的剩余不变接受集∞在文献[19]中，它们被称为dexcess不变量。

我们之所以选择“盈余”一词，是因为它在保险文献中更为常见。我们首先提供剩余不变接受集的基本但有用的特征。引理3.3。让A L∞成为验收集。那么下面的语句是等价的：（a）a是剩余不变的；（b） 如果X∈ A，然后是X1A∈ A代表每A∈ F（c） 如果X∈ A那么-十、-∈ A.特别地，任何剩余不变接受se t都包含0。证据假设（a）保持不变，让X∈ A和A∈ F请注意-十、-∈ A由剩余不变性决定。然后，自-十、-≤ X1A，我们得到X1A∈ A的单调性使得（b）成立。如果（b）保持且X∈ A，将A：={X<0}设置为-十、-= X1A型∈ A、p粗纱（c）。最后，假设（c）保持不变，并取X∈ A和Y∈ L∞这样Y-= 十、-. 然后紧接着-Y-∈ A，暗示∈ A单调性。因此，A是SUPPLU s不变量。剩余不变接受集示例示例示例3.4（SPAN）。设A是Ohm. A生成的量程接受集为设置量程（A）：={X∈ L∞; X1A型≥ 0} . （3.1）这是一个闭合的一致接受集，它是sur加不变量。正如我们在eorem 4.9中所示，span接受集本质上是唯一相干的、剩余不变的接受集。首字母缩略词Span代表标准投资组合分析。它指的是一种用于计算许多中央交易所选择的保证金要求的方法，例如参见[6]中的讨论。示例3.5（跨度类型）。设A是Ohm 然后取V∈ L∞. 由A和V生成的量程类型接受集是设置量程（A，V）：={X∈ L∞; X1A型≥ V 1A}。（3.2）这是一个封闭的凸接受集，当且仅当V 1A时，它是剩余不变的≤ 示例3.6（短缺风险）。允许l : R→ R是一个非恒定的、凸的、递减的函数，Fα>infx∈Rl（x） 。

setAl:= {X∈ L∞; E类[l(-十、-)] ≤ α} （3.3）是一个闭的、凸的s urplus不变接受集，它也是定律不变的。实践中使用最广泛的两种风险度量是风险价值和尾部风险价值。详细的处理方法见【14】第4.4节。虽然与风险值对应的接受集是盈余不变的，但基于风险尾值的可接受性标准通常不是这种情况。示例3.7（VaR）。风险价值X∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为Varα（X）：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} . （3.4）相关验收集aα：={X∈ L∞; VaRα（X）≤ 0}={X∈ L∞; P（X<0）≤ α} （3.5）很容易被视为盈余不变性。它是一个闭合的圆锥体，通常不是凸的。回想一下，验收设置了 L∞如果X 6，则称为敏感∈ A表示任何非零X∈ L∞这样的X≤ 0、备注3.8。唯一敏感的剩余不变接受集是L∞+; 另见【19】中的命题4.2。示例3.9（TVaR）。风险为X的尾值∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为asTVaRα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。（3.6）尾部风险值也称为预期短缺、条件风险值或平均风险值。相应的接受集aα：={X∈ L∞; TVaRα（X）≤ 0}（3.7）是一个封闭的一致接受集。然而，由于Aα众所周知是敏感的，因此在备注3.8中它不是盈余不变性的（除了与L重合的平凡情况∞+). 通过考虑以下示例，也可以直接看到这一点：∈ 0<P（A）<1且setX=的F-ε1A+γ1Ac对于ε，γ>0。（3.8）如果β<P（A）且VaRβ（X）=-γ否则。在P（a）<α<1时取TVaR水平α，如th。ThenTVaRα（X）=αZP（A）VaRβ（X）dβ+αZαP（A）VaRβ（X）dβ（3.9）=εαP（A）+γP（A）α- 1.. （3.10）通过相同的计算，我们还得到了VaRα(-十、-) =εαP（A）>0。

（3.11）因此-十、-对于Aα而言总是不可接受的，而当剩余γ足够大时，X是可接受的。盈余不变风险度量与盈余不变接受集相关的s-加性风险度量具有以下特性：它们将相同数量的所需资本分配给具有相同负部分的不可接受头寸。基于这一特性（如下所示），我们定义了s urplus不变风险度量的概念。剩余不变风险度量的类别包括Cont、Deguest和He在[6]中引入的基于损失的风险度量，以及Staum在[19]中引入的剩余不变风险度量。定义3.10。A风险度量ρ：L∞→如果ρ（X）=ρ，则R称为剩余不变量(-十、-) 对于所有X∈ L∞ρ（X）处的th≥ 0 . （3.12）备注3.11。根据【19】中引入的术语，满足（3.12）要求的风险度量也可以称为“盈余不变量服从正性”。为了使语言尽可能轻，我们避免这样做，因为要求ρ（X）≥ 通常需要0英寸（3.12）。实际上，假设ρ是归一化的，即ρ（0）=0，ρ（X）=ρ(-十、-) 对于某些X∈ L∞. 然后，通过单调性，0=ρ（0）≤ ρ(-十、-) = ρ（X）。提案3.12。让A L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。（i） 如果A是剩余不变的，那么ρA，Sis是剩余不变的。（ii）如果A是闭合的且ρA，则Sis剩余不变且未达到该值-∞, 那么A是盈余不变的。证据（i） 取X∈ L∞. 自从-十、-≤ 很明显，我们有ρA，S（X）≤ ρA，S(-十、-). 现在假设x+λST∈ A对于某些λ>0。根据剩余不变性，我们得到- （X+λST）-∈ A.因为λ是正的，所以我们看到-（X+λST）-≤ -十、-+ λST.该imp位于-十、-+ λST∈ 因此，ρA，S(-十、-) ≤ λ.

因此，我们得到ρa，S(-十、-) ≤ ρA，S（X）。（ii）由于A是闭合的，我们有A={X∈ L∞; ρA，S（X）≤ 0}. 取X∈ 使ρA，S（X）≤ 0，并设置λ：=ρA，S（X）/S。由于ρA，S（X+λST）=0，我们有ρA，S(-（X+λST）-) = 0的剩余不变性。这意味着-（X+λST）-∈ A.然而-（X+λST）-≤ -十、-自λ起≤ 0，因此-十、-∈ A.引理3.3表明A是剩余不变量。备注3.13。在前面的命题中，要求ρA，Sdoes不能达到值-∞ 是合理的。实际上，任何位置X∈ L∞ρA，S（X）=- ∞ 将具有以下病理特性：一个人可以在不影响可接受性的情况下提取任意数量的资本。此外，ifA是闭的和凸的，那么ρA，Sis是凸的和下半连续的，这意味着ρA，如果达到该值，则不能满足任何实值-∞ 根据[8]第一章中的命题2.4。4对偶表示在本节中，我们给出了与弱*拓扑σ（L∞, 五十） 。在这里，我们用实值的Banach格表示变量X(Ohm, F）使E[| X |]<∞, 其中，再次确定了几乎完全重合的随机变量。Lis中的正锥体由L+表示。请注意，每个元素Z∈ Lcan用函数ψZ:L表示∞→ R通过配对ψZ（X）：=E【XZ】。备注4.1。σ（L）的兴趣∞, 五十） -关闭验收集A L∞在于相应的风险度量ρA，具有所谓的Fatou性质，即它们相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十） 。此外，Svindland在[20]中指出，如果潜在的概率空间是非原子的，则L∞它是凸的，闭的，且律不变性自动为σ（L∞, 五十） -关闭（另见Jouini、Schachermeyer和Touzi【17】）。

回想一下，a集合a L∞当X和Y具有相同的分布时，如果X∈ A意味着Y∈ A.备注4.2。命题3.12同样适用于σ（L∞, 五十） -关闭验收集A L∞按以下形式：如果ρA，则S未达到该值-∞, 则ρA，Sis剩余不变当且仅当ifA是剩余不变的。子集a的（下）支持函数 L∞图σA:L→ R∪ {-∞} d由σA（Z）定义：=infX∈AE【XZ】。（4.1）集合B（A）：={Z∈ LσA（Z）>-∞} 称为A的势垒锥。备注4.3。设A是L的子集∞. 那么σAis是超线性的，并且是半连续的。如果A是acone，那么B（A）={Z∈ LσA（Z）=0}。此外，根据[11]中的引理3.11，如果A是一个接受集，那么B（A） L+。剩余不变接受集的对偶表示我们首先建立了凸、剩余不变接受集的对偶特征，即σ（L∞, 五十） 已关闭。显然，这种类型的特征化也提供了构建此类接受集的明确方法。定理4.4。L的子集A∞是σ（L∞, 五十） -当且仅当ifA=\\ Z时，闭合、凸、剩余不变接受se t∈B（A）{X∈ L∞; E【XZ】≥ γ（Z）}（4.2）对于某些函数γ：L→ R∪ {-∞} 满足（F1）γ（Z）≤ 0表示所有Z∈ L+；（F2）γ（Z）>-∞ 对于一些Z∈ L+；（F3）γ在下降。在（4.2）中，我们可以选择γ=σA。此外，对于任何满足（4.2）的γ，我们有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。此外，σA（Z）=infX∈AE[-十、-Z] 对于每个Z∈ L+。（4.3）证明。首先，设A（γ）为（4.2）中的交点。作为σ（L）的交点∞, 五十） -由正σ（L）生成的闭合半空间∞, 五十） -连续线性泛函，A（γ）是σ（L∞, 五十） -闭合凸面验收集。特别地，A（γ）是L的一个非空的真子集∞通过（F1）和（F2）。为了证明a（γ）是剩余不变量，取X∈ A（γ）。

因为γ在减小，所以对于每个Z∈ L+我们获得[-十、-Z] =E[X1{X<0}Z]≥ γ（1{X<0}Z）≥ γ（Z）（4.4）表明A（γ）是引理3.3的剩余不变量。现在假设A是σ（L∞, 五十） -sur加不变量的闭合凸接受集。根据[12]中的定理4.4，我们可以用γ=σA表示（4.2）中的A，并且对于任何满足（4.2）的函数γ，我们必须有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。注意，σAin（4.3）的表示来自A的剩余不变性。因此，σAsatis fies（F3）。由于A是非空且适当的，σA也等于（F1）和（F2）。备注4.5。让A L∞为σ（L∞, 五十） -闭、凸、剩余不变接受集。通过正同质性，我们可以将（4.2）中的交集限制为所有随机变量Z∈ B（A）满足E[Z]=1。这种类型的随机变量可以用Radon-Nikodym导数DQDPOF概率测度Q来识别<< P、 即概率度量相对于P是绝对连续的。因此，（4.2）isA中A的对偶表示的“概率”版本=\\Q<<P、 dQdP∈B（A）十、∈ L∞; 等式[X]≥ σAdQdP. （4.5）盈余不变风险测度的对偶表示下一步，我们建立了满足Fatou性质的ConverxRisk测度的标准对偶表示的盈余不变性的结果。对于任何ρ：L∞→ R∪ {∞} 我们用ρ表示*其σ（L∞, 五十） 共轭，即ρ*（Z） ：=supX∈L∞{E[XZ]- ρ（X）}表示Z∈ 五十、 （4.6）提案4.6。设ρ：L∞→ R∪ {∞} 是满足Fatou性质的凸风险测度。如果ρ是剩余不变的，那么ρ（X）=supQ<<P-等式[X]- ρ*-dQdP对于X∈ L∞. （4.7）此外，如果ρ（X）≥ 0，则ρ（X）=supQ<<P公式[X-] - ρ*-dQdP. （4.8）证明。因为ρ是凸的，并且相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十） ，通过结合[15]中的定理6和推论7，我们得到∈ L∞标准对偶表示ρ（X）=supZ∈L+{-E【XZ】- ρ*(-Z） }。

（4.9）因此，如果我们按照备注4.5中讨论的相应氡Nikodym der ivatives，则（4.7）紧随其后。如果ρ（X）≥ 0，则ρ（X）=ρ(-十、-) 通过剩余不变性，因此（4.8）也是如此。对于ρA，S形式的盈余不变性风险度量，这是与操作相关的度量，我们得到了一个更清晰的对偶表示，盈余不变性的影响更为明显。提案4.7。Le t A公司 L∞是凸的，σ（L∞, 五十） -关闭验收集，并假设ρA，Sdoes notattain the value-∞. 如果A是剩余不变的，那么ρA，S（X）=supQ<<P、 等式【ST】=S-等式[X]+infY∈AEQ公司[-Y-]对于X∈ L∞. （4.10）此外，如果ρA，S（X）≥ 0，则ρA，S（X）=supQ<<P、 等式【ST】=S公式[X-] + infY公司∈AEQ公司[-Y-]. （4.11）证明。由于ρA，Sdoes未达到该值-∞, 我们可以应用[12]中的推论4.14和定理4.16来获得ρA，S（X）=supZ∈B（A），E[STZ]=S{σA（Z）- E[XZ]}（4.12）每X∈ L∞. 因此，σAin（4.3）在ce上的表示（4.10）我们考虑对应的Radon-Nikodym导数。第二种表示法紧跟着盈余不变性。相干、剩余不变接受集我们现在关注相干、剩余不变接受集，并表明此类基本上与示例3.4中定义的跨度接受集类一致。因此，如果超越不变性被认为是一种可取的特性，为了有更广泛的可接受性标准，我们不得不离开不同的世界。如果我们还需要法律不变性，这一点就更加明显了，这是文献中的一个常见假设。事实上，我们证明了正锥L∞+是唯一的剩余不变量相干接受集，也是定律不变的。在本节中，我们假设空间是可分的。根据文献[5]中的定理19.2，当σ-代数F是可数生成的时，就是这种情况。引理4.8。