全球社会经济系统的结构稳定性如何？

根据经济学理论（10、12、13），我们将快速变化称为扰动，其发生速度可能快于系统适应新的社会经济条件。具体而言，我们使用蒙特卡罗方法来量化一个国家保持正稳定状态（N*i> 0）当系统受到不同类型的扰动时。具体而言，扰动是由承载能力结构向量的随机偏差、全球竞争的不同水平以及代理间资源竞争网络的变化产生的。为了探索与资源可用性快速变化相关的风险，在我们对承载能力的结构向量引入比例随机扰动之前，使用扰动向量作为初始参数K，在观测到的竞争网络上模拟动力学模型，并调查一个国家保持正稳定状态的时间分数，作为其资源数量的函数。有趣的是，图5a显示，所有国家保持正稳定稳定状态的概率几乎相同，无论其资源数量如何。然而，这种可能性随着系统中全球竞争水平的增加而降低（见图5a），这与我们之前在网络层面的结果相呼应。此外，我们还通过资源代理系统随机改变代理间资源竞争网络，探索与资源分布快速变化相关的风险（见附录B）。这些变化既可以单独调查，也可以与资源可用性的变化（即结构向量的扰动）结合调查。一般而言，我们发现一个国家的初始资源数量越少，其保持正稳定稳定状态的概率越低（图5b-c）。

总的来说，初始资源的数量似乎存在一个饱和点，在此之后，各国无法再增加其保持积极稳定状态的机会。重要的是，这些发现表明，系统的定性行为对资源分布的快速变化高度敏感。4讨论在本文中，我们使用了资源竞争系统的简约模型和网络表示来研究全球社会经济系统的结构稳定性。然而，在模型生成和经验特征之间发现的惊人相似之处表明，这可能是回答全球社会经济系统结构稳定性的一个有希望的起点。我们使用结构稳定性的概念来研究与定性行为的稳定性兼容的条件范围，其中所有成分都可以在时间上自我维持。由于缺乏关于模型中经验参数值的详细信息，我们的结果没有揭示所观察到的全球社会经济系统所能容忍的实际条件范围。然而，我们的结果表明，独立于参数值，国家间的竞争水平越高或资源不平等程度越高，系统的结构稳定性越低。重要的是，我们的发现表明，跨国公司可以作为资源的代理，全球社会经济系统的可持续行为可以对国家公司互动的变化高度敏感。我们相信，我们的框架提供了一个新的方向，可以增进我们对社会经济体系改变和适应能力的理解。例如，虽然人口可能呈指数增长，但我们的生活受到有限资源的限制（21）。

目前，我们可能会看到同样增长的经济发展，仅仅是因为我们还没有达到我们的总承载能力，即新的资源正在不断开发和利用。如果代理人通过数量或数量增加其承载能力，他们也可能增加其总丰富度或财富。然而，所有代理的正稳定稳态将取决于系统中的新条件是否与相应的承载能力结构向量对齐或足够接近。新的挑战将是如何在结构向量施加的限制下处理数量有限的资源，以及如何在代理人之间提供理想的财富分配。我们的框架也可以应用于其他领域，如生物系统。事实上，生态系统不断变化，以应对其内部和外部压力。例如，结构稳定性的概念已应用于共生系统，以研究是否存在一些网络特征可以增加物种共存的可能性（17）。这项工作中使用的资源竞争系统在生态学中被广泛用于描述物种间的资源竞争（22）。这表明，我们的发现也可以为影响捕食者之间争夺共同猎物的竞争，或植物之间争夺矿物质、水和阳光的竞争的因素提供新的线索。附录A.动态竞争模型的数学推导。在本附录中，我们给出了由这组普通微分方程（1）描述的动力系统的分析结果。具体而言，我们研究了稳定状态的存在性、可行性（即所有代理都具有严格的正状态）及其全局稳定性。

首先，我们证明了如果动力系统的初始条件在正象限（Rn≥0），则其轨迹也保持在正象限。这意味着我们必须只关注正象限中稳态的存在和稳定性。引理1。考虑由一组普通微分方程（1）给出的动力系统，初始条件位于正象限（Rn≥0），即Ni（t=0）≥ 然后系统的曲率保持在正象限，即Ni（t）≥ 0表示所有时间t≥ 0.证明。假设存在一个代理k和一个时间Tsuch，其Nk（t=t）<0。然后，由于动力系统（1）的轨迹是连续的，因此存在T<T，即Nk（T=T）=0。这意味着在时间t时，NK的导数消失，即dNkdt | t=t=0。此外，这个等式独立于niforall i6=k的值。因此，我们得到了Nk（t≥ T） =0，尤其是Nk（T=T）=0。这个矛盾证明了引理。回想一下，稳态N*如果N，则称为正*i> 0表示所有试剂i。任何正稳态都是通过定义以下线性方程K=βN的解*.因此，为了更好地定义正稳态，我们需要假设竞争矩阵β是非奇异的，即det（β）6=0。其次，我们证明了正稳态是全局稳定的当且仅当竞争矩阵β的特征值是严格正的。请注意，通过定义我们的竞争矩阵β是对称的，那么所有特征值严格正的条件等价于严格正定义。回想一下，稳态N*如果N，则称为阳性*i> 0表示所有代理i。引理2。假设存在正稳态，即存在N*例如，N*i> 0和K=β·N*, 竞争矩阵是非奇异的。

然后，当且仅当对称竞争矩阵β为严格正定义时，该稳态在严格正象限Rn>0中渐近全局稳定。证据<== 在参考文献（24）中，Goh引入了一个Lyapunov函数，证明了任何正稳态N在Rn>0的域中的全局渐近稳定性*i> 在矩阵β是Lyapunov对角稳定的条件下。矩阵β是Lyapunov对角稳定的，存在严格正的对角矩阵D，使得Dβ+βTD是严格正的。在我们的例子中，β已经是严格的正定义，那么它也是Lyapunovdiagonal稳定的。因此，任何正稳态都是全局稳定的。这证明了Lemma从右向左==> 假设正稳态N*i> 0是渐近全局稳定的。这意味着在det（β）6=0的假设下，雅可比矩阵的特征值具有严格的负实部。正稳态下的雅可比矩阵由矩阵J=-D（a）β，其中D（a）是由向量a的元素构成的对角矩阵。a的元素是严格正的，由ai=ri/KiN给出*i、 通过相似变换，矩阵xd（a）β的签名（也称为惯性）等于矩阵D（a）1/2βD（a）1/2的签名。实际上，通过相似变换，我们有以下等式：signature（D（a）β）=signature（D（a）βD（a）1/2D（a）-1/2）=签名（D（a）1/2βD（a）1/2）。此外，由于β是对称的，西尔维斯特定律意味着签名（D（a）1/2βD（a）1/2）=签名（β）。因此，β的特征值都是严格正的，这证明了引理是从右向左的。引理2意味着，如果我们想要正稳态的全局渐近稳定性，我们必须限制全局竞争水平u，使得矩阵β的所有特征值都是严格正的。

实际上，对于u=0，矩阵β的特征值等于1。由于特征值是u的连续函数，因此存在一个临界水平^u，最低特征值等于零。因此，对于区间0的全球竞争水平≤ u<u，正稳态是渐近全局稳定的。前面的引理建立了正平衡状态的全局渐近稳定性条件。然而，承载能力K的所有向量都不存在正稳态∈ 注册护士。事实上，存在与正稳态相容的承载力向量子集。该子集定义为FD={K∈ Rn |存在N*i> 0，使得Ki=PjβijN*j} 。该子集可以简单地表示为向量vk=βek（ek是Rn的标准正交基的向量），FD={λv+·λ+λnvn |λ，·λn>0}的严格正线性组合。由于矩阵β的元素都是正的，这意味着向量vk的所有元素都是正的，反过来，这也意味着导致正平衡状态的承载能力向量的所有元素都是正的，即FD 注册护士≥0在下一个引理中，我们研究了正等式Rn中稳态的存在性和稳定性≥0对于承载力K的任何向量。首先，让我们注意到，在不丧失一般性的情况下，我们始终可以假设稳态具有以下形式N*=（0，···，0，N*m+1，···，N*n{z}>0）T。事实上，这种形式总是可以通过对试剂重新编号来实现，以便第一个m是非正的，最后一个n-m是积极因素。引理3。

考虑对称竞争矩阵β是严格正定义的。然后，对于承载力K的所有向量∈ Rn，存在且仅存在一个稳定状态，以N的形式书写，没有失去一般性*= （0，···，0，N*m+1，···，N*n |{z}>0）T，在域中全局渐近稳定Ohm = Rm≥0∪注册护士-m> 0。此外，正象限Rn中的所有其他稳定状态≥0不稳定。最后，该稳定稳定状态的值仅由竞争矩阵β和承载能力向量K证明确定。1、考虑N*= （0，···，0，N*m+1，···，N*n{z}>0）为稳态。然后，在该稳态下计算的雅可比矩阵由以下2×2块矩阵给出：J=-D（b）Pjβ1jN*j- K0 0 . . . 0..................0 . . .PjβmjN*j- Km0。0N*m+1βm+1,1。N*m+1βm+1，mN*m+1βm+1，m+1。N*m+1βm+1，n。。。。。。。。。。。。。。。。。。N*nβn，1。N*nβn，mN*nβn，m+1。N*nβn，n.向量b的元素是严格正的，由bi=ri/Ki给出，矩阵D（b）是由向量b的元素组成的对角矩阵*局部稳定当且仅当ifPjβijN*j- Ki>0表示所有i∈ {1，···，m}，以及子矩阵特征值的实部bm+1N*m+1βm+1，m+1。bm+1N*m+1βm+1，n。。。。。。。。。bnN公司*nβn，m+1。bnN公司*nβn，n绝对是积极的。后一个条件自动满足，因为矩阵β对称且严格正定义。然后，给出了N的存在条件和局部稳定性*可归纳为：N*我≥ 0，XjβijN*j- Ki公司≥ 0和N*i（XjβijN*j- Ki）=0，对于所有代理i，如果Ni=0.2，则第二个不等式是严格的。

我们记得向量N*是由竞争矩阵β和承载能力向量K定义的线性互补问题（26）的解，如果它满足以下不等式：N*我≥ 0，XjβijN*j- Ki公司≥ 0和N*i（XjβijN*j- Ki=0。此外，与我们的情况一样，竞争矩阵β是严格正定义的，并且线性互补问题存在且只有一个解（27）。3、我们证明了稳态，即竞争矩阵β和承载能力向量K定义的线性互补问题的解，在域中是全局渐近稳定的Ohm = Rm≥0∪ 注册护士-m> 0。证明基于Goh在参考文献（28）中引入的以下Lyapunov函数：V（N）=mXi=1diNi+nXi=m+1di镍- N*i+N*ilog公司NiN公司*我,用二元严格正数。显然，我们有V（N）≥ 0，作为N*我≥ 0，andNi- N*i+N*ilog公司NiN公司*我≥ 0代表所有i∈ {m+1，···，n}。此外，V（N）=0当且仅当N=N时*. 让我们计算它对时间的导数。我们获得了DVDT=mXi=1 Dirikinifi+nXi=m+1 Diriki（Ni- N*i） fi，其中fi=Ki-Pnj=1βijNj。对于i∈ {m+1，···，n}，考虑这样一个事实，即Ki=Pni=1βijN*j、 然后我们可以写fias:fi=-Pnj=1βij（Nj-N*j） 。对于i∈ {1，···，m}，我们重写filike:fi=Ki-Pnj=1βijN*j-Pni=jβij（Nj- N*j） 。将这两个表达式代入Lyapunov函数的导数，我们得到dvdt=mXi=1diriKidiNi（Ki-nXj=1βijN*j）-nXi=1riKidiNi（Ni- N*i） βij（Nj- N*j） 。右侧的第一项总是负值，实际上，Ni≥ 0和i∈{1，···，m}我们有Ki-Pnj=1βijN*j≤ 右边的第二项总是严格正的。事实上，如果我们设置di=Kiri，那么它是由严格正定义的矩阵竞争矩阵β定义的二次型。因此，在该领域Ohm, 我们的DVDT<0。

因此，稳态，即线性互补问题的解，在域中是渐近全局稳定的Ohm.考虑我们还有另一个稳态，即线性互补问题的解给出的稳态。然后，根据线性互补问题解的唯一性，存在一个agent k，其中N*k=0，同时PjβijN*j- Ki<0。这意味着雅可比矩阵的一个特征值是严格正的，所以这个稳态是不稳定的。因此，存在一个且只有一个全局稳定的稳态，由竞争矩阵β和运载能力向量K定义的线性完整性问题的解给出。这证明了引理的两个第一个断言。对于最后一个断言，只需说明线性互补的解是函数β和向量K。因此，稳定稳态的值也是β和向量K的函数。所有这些引理一起意味着，在β的所有特征值都是严格正的条件下，即β是严格正的有限矩阵，从严格正象限开始的动力系统（1）的轨迹收敛到唯一的稳态。此外，对于给定的竞争矩阵β，该稳态值仅为承载能力K的函数；增长率r仅决定轨迹收敛到稳定状态的速度。附录B.备选机构间资源竞争网络。我们使用了一种重采样过程，该过程能够生成一个大梯度的代理间资源竞争网络，同时保留网络中的交互总数（29）。首先，我们将管理者（国家）和资源（公司）之间的资源代理系统（即二部网络）随机化。

请注意，如果两个代理共享一个资源，则它们会进行交互，交互的强度等于共享资源的数量。这种随机化是通过使用modellogit（p（T）ik）=T来推断代理i和资源k之间相互作用的概率来执行的-κ（vi- fk）+φv*k+φf*k+ m（T）。（2） 术语v*iquanti描述资源数量的变化，术语f*K定量检测系统的分类结构，温度T调节模型中的随机性水平。自v起*土地f*由于先验未知，它们可以从观测到的资源代理系统本身进行估计。参数κ、φ和φ是正标度参数，表示项贡献的重要性。然后，根据他们的估计，推断出所有代理和资源对之间相互作用的概率。因此，通过根据这些估计的交互概率随机抽取交互，可以简单地生成替代资源代理系统。为每个温度值调整截距m（T），以使预期的相互作用数等于观察到的相互作用数。当温度达到极限时，我们的模型收敛到Erd"os-R"enyi模型，当温度达到零时，系统冻结在我们的模型预测的最可能的配置中，当T=1时，超过了预期的资源分布。其次，我们将先前生成的资源代理系统转化为一个跨代理的资源竞争网络。该竞争网络的特征是大小为N×N的对称矩阵β，称为竞争矩阵。竞争矩阵βij的元素是代理之间共享资源数量的函数。感谢Peter Claeys、Daniel B.Stou ffer和Brian Uzzie对本手稿早期草稿的宝贵意见。