信用风险模型风险

而增长速度与β成正比，因此对于小规模的传染，系数β可以解释为违约相关性的简单函数，就像对于无传染，α可以解释为违约概率的简单函数一样。同样，我们可以通过对称性看到pβ=pβ。但pβ>pβ=0，增加与β成比例。相反，pβj=pβ=0j，j=3，···，N，因为节点j=3，···，N不受传染的影响。换言之，当加入某种传染时，α不再是p的（简单函数），因为α和β之间存在“混合”，以及它们与p和ρ的关系。我们想强调的是，上述模型并不对应于违约概率已知且彼此相等的信贷组合，{pi=：p | i=1，2，…，N}，并且默认相关性仅为节点12对已知，对于ij 6=12，β=：β和βij=0。如上所述，模型的违约概率如下所述：Pβ（l，l，···，lN）=ZexpαNXi=1li+βll！（15） 并非所有节点都是一样的：具有传染链（如l）的信贷工具，相对于没有传染链（如l）的节点，其违约概率会增加。满足经验条件的概率分布，使得违约概率已知且彼此相等，{pi=：p | i=1，2，…，N}默认相关性仅为节点对12已知，β=：β和βij=0，因为ij 6=12是：pβ（l，l，···，lN）=Zexpα（l+l）+αNXi=3li+βll！（16） 式中，α满足约束hliβ=hliβ=p，不同于满足约束hliβ=··hlNiβ=p所需的α。

对于这种情况，对于较小的β，对12的默认相关性与β成正比也是事实。在模型同时包含α和βij的一般丛林情况下：P（l，l，…，lN）=Zexpxi∈θαili+X（i，j）∈φβijlilj（17） α是违约概率的（简单函数），β是违约相关性的（简单函数）：对于一般的丛林案例，α和β以及它们与p和ρ的关系之间存在“混合”。2015年12月2日MV19（续）201509235.3。蒲公英模型蒲公英模型对应于一个有N+1个借款人的丛林模型，第一个借款人被定义为i=0，被认为是蒲公英的中心，在蒲公英的外表面与所有剩余借款人“连接”，因此i=1，2，···，N时β0i=：β6=0。任何其他借款人保持不连接，i=1，2，····，N时βij=0，N&j>i。为简单起见，我们假设αi=：α，对于i=1，2，···，N。蒲公英模型的概率分布为：P（l，l。

，lN）=Zexpαl+αNXi=1li+βNXi=1lli！（18） 蒲公英模型尽管相互作用，但可以完全求解，其损失的概率分布为：P（`=NXi=1li）=ZN个`（exp（α`）+exp（α+`（α+β）））（19）其中Z由以下公式给出：Z=（1+eα）N+eα（1+eα+β）N（20），并且α、α和β作为经验数据的函数明确给出，p，pandρ：α=（N- 1） 日志1.- 聚丙烯+ N日志p- 第一季度- p- p+q（21）α=对数p- 第一季度- p- p+q（22）β=对数qp公司- 第一季度- p- p+qp- q（23）其中q可从违约相关性的定义中得出：ρ=q- pppp（1- p） pp（1- p） （24）证据可在附录D中找到。为了提供蒲公英模型的直觉，我们计算了一组合理参数的概率分布，N=800，p=p=2.8%，这与全球投机等级债券的历史违约率平均值相对应，根据（穆迪投资者服务2011），以及给定范围的可能违约相关性。结果如图4所示：图表中的概率分布显示出“双峰”模式：一方面，一个峰值，以低损失为中心，与二项分布的相应峰值没有什么不同。另一方面，较小但不明显的第二个峰值，对应于高水平的损失，并与传染引起的雪崩/多米诺骨牌效应相一致。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923N=800 p=0.028 p0=0.028 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 60 80 100损失概率损失（%）ρ=0.00ρ=0.01ρ=0.02ρ=0.04ρ=0.08ρ=0.16ρ=0.32 0 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0 5 0 5 10 15 20 30 35 0.08 0.09 0.1图4。蒲公英模型损失的概率分布，对应于不同的违约相关性违约相关性越高，极端损失越高（第二个峰值在图表上进一步向右移动）。

此外，违约相关性越高，首峰损失越低。传染是双向的：违约导致更多违约（相对于二项式案例），非违约导致更多非违约（相对于二项式案例）。从图表中的两个插图可以更具体地看到这两种影响。此外，违约相关性越高，风险价值和预期缺口就越高。下表（99%置信水平）举例说明了这两种风险度量与相应违约相关性的相关性。ρVaR ES0.00 0.041 0.0440.01 0.043 0.0460.02 0.049 0.0550.04 0.069 0.0760.08 0.109 0.1170.16 0.188 0.1980.32 0.344 0.356蒲公英模型可以理解为宏观经济风险因素和传染之间的桥梁。具体而言，在附录D中蒲公英模型的推导过程中，产生了以下方程式：p=（1- p） p（α）+pp（α+β）（25），其中p（α）=1+e-α（26）2015年12月2日MV19˙cont˙20150923对应于二项式（非相互作用）情况下描述的p和α之间的关系。因此，蒲公英的中心节点可以被解释为内生性地产生了“宏观经济状态”，在一小部分时间内，1- p经济保持在“良好”的经济状态，其组成部分的违约概率由p（α）=1+e决定-α、 在p给出的一小部分时间内，经济仍处于“糟糕”的经济状态，其组成部分的违约概率为p（α+β）=1+e-（α+β），其中p（α+β）>p（α），差异由“传染因子”β解释。换句话说，蒲公英模型内生性地生成了一种二元模型的混合物，能够生成双峰分布和违约聚类。5.4.

钻石模型钻石模型定义为：Z=Xl，l，。。。，lNexp公司αNXi=1li+βXi>jlilj（27）钻石模型描述了一组相互作用的信用。例如，ifN=4，节点1可以是银行，节点2可以是水泥生产商，节点3可以是房地产开发商，节点4可以是汽车经销商。水泥生产商、房地产开发商和汽车经销商从银行获得资金，因此第12、13和14对之间存在违约相关性。此外，水泥生产商是房地产开发商的供应商，因此这对23也是相关的。

最后，2号和3号公司的员工从汽车经销商处购买汽车，因此2号或3号公司的违约会影响4号公司的业务，也会在24号和34号公司之间产生违约相关性。菱形模型的配分函数为：Z=NX`=0N个`经验值(α -β)` +β`（28）相应的损失概率分布为：P（`=NXi=1li）=N个`经验值(α -β)` +β`Z（29）我们可以将经验数据p和ρ与模型参数α和β联系起来，从以下两个方程可以进行数值反演：p=ZNNX`=0N个`` 经验值(α -β)` +β`（30）q=ZN（N- 1） NX`=0N个``(` - 1） 经验值(α -β)` +β`（31）附录E提供了之前声明的证明。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923钻石模型清楚地展示了准相变这一荣格模型中最有趣的现象之一。让我们看看当我们顺利改变违约相关性时，钻石模型的损失概率分布是如何变化的，对于在给定水平上确定的违约概率（参数N=20，p=40%，便于目视检查；下面，我们将提供另一个示例，N=50，p=2.8%）：0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100概率ρ=0%（二项）0 0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100ρ=10%0 0.06 0.12 0.18 0.18 0 20 40 60 100概率ρ=20%0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80100ρ=25%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100概率损失（%）ρ=30%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100损失（%）ρ=40%图5。

准相位转换点以下、周围和上方违约相关性的损失概率分布我们可以看到，当我们在这些违约相关性之间的某个点将ρ从10%平稳更改为20%至30%时，损失概率分布的集体行为会发生突然变化：2015年12月2日MV19˙cont˙20150923违约相关性在10%左右或以下，Diamond模型呈现了一种标准行为，损失以预期值（40%）周围的给定宽度扩散。然而，当默认相关性仅略微增加（比如说增加到25%）时，损失概率分布的不同行为开始出现：损失的概率分布变成双峰分布，如图5所示。默认相关性增加越多，右侧第二个峰值的潜在损失越大。另一个数值例子是（穆迪投资者服务2011）样本中的特殊等级债券的平均违约率，这次N=50，p=2.8%，显示了准相位转换如何显著改变损失概率分布的风险概率，考虑到确定投资组合的经验值的微小变化（违约概率，尤其是违约相关性）：0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100累积损失概率ρ=2%VaR=15%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100ρ=3%VaR=18%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100累积损失概率损失（%）ρ=4%VaR=90%0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75100损失（%）ρ=5%VaR=94%图6。

违约相关性的累积概率损失分布在准相位转换点以下、周围和上方。从图6中，我们可以看到，在99.9%置信度水平下，如果违约相关性略有增加，风险值会突然跳跃。当模型参数α和β发生变化时，经验变量（违约概率和违约相关性）如何变化，也可以分析上述现象，如图7所示。尽管事实上，对于一个有限的N，不可能有（完全不连续的）相变，但从上面的图中，我们可以看到在模型参数空间中清晰可见的对角线中，存在一种尖锐的、几乎不连续的行为。通过类比，我们将其命名为“准相位”。这是对“相变”概念使用的解释，借用自统计力学。相位转换是指给定变量的突然跳跃，由另一个基础变量的微小变化引起。然而，准相变并不是统计力学中正确定义的相变。例如，物理上等同于丛林模型的Isingmodel的相变不可能在有限的N中发生，在本文中，我们假设N始终是有限的。2015年12月2日MV19˙续˙20150923过渡“到该现象。在凝聚态物理文献中，这样一条以所谓的“临界点”结尾的线的存在是众所周知的。由于经验参数、违约概率和违约相关性以及模型参数α和β之间存在已知关系，分析师可以使用经验参数或模型参数来描述模型的行为。

模型参数在分析此类系统的行为时往往更有用，因为从图7中观察到，经验参数的微小变化总是导致模型参数的微小变化，但相反的情况显然不是这样（在准相变线处）：-10-8.-6.-4.-2 00.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9-10-8.-6.-4.-2 00.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9图7。一组给定模型的违约概率和违约相关性（标准化为0到1之间的值）参数，α和β，N=80。此外，任何信贷组合都是由潜在的基本经济因素（宏观经济和微观经济）驱动的。因此，我们可以理解由此类模型描述的acredit投资组合在时间上的演变，即当基础、基本经济因素发生变化时，模型参数的平稳变化。

通常，经验参数将使系统在图7的左下角移动（违约概率和违约相关性相对较低）。然而，当经济条件使系统接近（但仍低于）准相变线时，基本经济因素的微小变化可能会导致模型参数的微小变化，从而使系统可能无意中穿过准相变线，导致突然的、几乎不连续的，试验参数的变化。因此，钻石模型反直觉地表明，由于决定投资组合的经验值的微小变化，投资组合的集体行为可能会发生显著变化。这种现象与水向蒸汽的相变没有什么不同：如果我们在98摄氏度时将水的温度提高1摄氏度，那么在99摄氏度时产生的水将继续“是水”（小细节将发生变化，例如，水中的温度计读数将小幅增加，但水将保持“是水”）。然而，当温度进一步升高摄氏度时，水的集体行为会突然改变，变成蒸汽泡和液体共存。因此，基础参数的微小变化会导致整个系统的行为发生重大变化。