期货衍生品的多尺度随机波动模型

在这个数值例子中，对κ和b进行了一些合理的初始猜测，所有这些猜测都导致了相同的校准参数。因此，无需对Ft、TWA的κ和busing历史数据进行估计。我们在图2和图3中显示了不同到期日的隐含波动率，其中实线是模型隐含波动率，圆圈是市场观察到的隐含波动率。最短期限隐含波动率曲线位于最左边，期限顺时针增加。表1和表2中给出了校准的组参数。值得注意的是，Vε（z）和Vδ（z）确实很小，因此这些参数与我们的模型是兼容的。参数值^κ0.1385d？η（z）0.21967\\Vε（z）-0.00017637\\Vδ（z）-0.012656表1：使用到期日大于90天的期权校准参数。参数值^κ0.30853d？η（z）0.23773\\Vε（z）-0.00011823\\Vδ（z）-0.007633表2：使用所有可用数据校准的参数图1：2013年10月16日的未来价格。图2：到期日超过90天的原油期货期权的市场（圆圈）和校准（实线）隐含波动率。图3：使用所有可用数据，原油期货期权的市场（圆圈）和校准（实线）隐含波动率。5 Hikspoors和Jaimungal【2008年】以及Chiu等人【2011年】的论文在均值回复资产价格的背景下考虑了多尺度随机波动率模型与先前工作的比较。双方都推导了期权现货价格的一阶近似值。然而，只有Hikspoors和Jaimungal（2008）处理期货期权。因此，我们将把本节的重点放在这项工作上。在Hikspoors和Jaimungal【2008】中，作者应用了Cotton等人首次开发的方法。

【2004年】估计商品期货期权的价格。该方法包括将Payoff函数写成一阶Taylor多项式，围绕未来价格展开的零阶项（3.1），然后应用Fouque等人引入的奇异摄动参数，最终得出近似值。他们方法的另一个根本不同于我们的方面是，他们认为利益变量是商品的现货价格，此处用Vt表示，而我们考虑V的未来价格，此处用Ft表示，T。正如我们将在下文中看到的，这是无法使用一阶近似值设计简单校准程序的原因之一。作者提出了两类模型：单因素模型和双因素模型。这两个模型有一个共同点：商品呈现快速均值回归随机波动。因此，我们的模型（2）是其单因素模型的扩展，其中我们将慢时间尺度添加到随机波动动力学中。然而，与Hikspoors和Jaimungal【2008】相比，我们工作的主要贡献是：（a）我们不依赖支付函数的泰勒展开来推导期权价格的初始近似值，因此不需要额外的平滑性假设。第3.4节中的反转参数允许我们克服Payoff函数的平滑度限制；（b） 我们的一阶修正（例如，见总结3.6）是对他们的大幅改进，因为它只涉及零阶项的希腊人。他们的一阶修正提出了一个涉及期望的复杂术语：公式[h（T，UT）Д（h（T，UT））| UT=u]，其中我们使用前面章节中建立的符号，u是方程（2）的过程u，其中η（y，z）=η（z）；（c） 我们提出了一个简单的市场组参数校准程序。

一阶校正的简单表达式是此类校准程序可行的原因之一。然而，我们的方法的基本方面，即程序的核心，是我们考虑未来价格Ft，Tas是变量，而不是现货价格Vt。因此，由于未来价格是鞅（与V相反），因此，对于0阶项的希腊人，可以使用更好的公式。方程式（4.1）基本上是正确的。6结论和未来方向我们提出了推导复合衍生工具一阶近似值的一般方法，并在期货合约衍生工具的情况下对其进行了全面的开发。虽然该方法似乎涉及，但除了微扰理论中固有的假设外，它不需要任何关于支付函数规律性的额外假设。此外，我们还提出了与该方法相关的校准程序，并推导了市场组参数的公式。利用原油期货期权的黑色隐含波动率数据，给出了标定过程的实际数值例子。进一步研究的一个方向是将本研究中提出的模型和渐近展开式与著名的Schwartz-Smith-Schwartz-andSmith（2000）和Gibson-Schwartz-Gibson-Schwartz（1990）商品价格模型联系起来。

特别是，一个重要的问题是风险溢价的计算，如Gibson和Schwartz【1990年】所述。对于k=1，2，3，ψε，δk（t，x，y，z，t）=Xi，j，一个PDE展开式正式写入≥0(√ε） 我(√δ） jψk，i，j（t，x，y，z，t）。在下文中，我们将仅计算上述展开式的项，这些项对于计算Ft上导数的一阶近似值是必要的，T.A.1通过链式规则ψε，δ（T，x，y，z，T）展开ψε，δ=Hxε，δ（t，x，y，z，t），然后我们可以很容易地看到ψ1，0，0（t，x，y，z，t）=Hx（t，x，z，t）=h类u（t，H（t，x，z，t），z，t）。自从h类u（t，u，z，t）=e-κ（T-t） h（t，u，z，t），ψ1,0,0的公式如下：ψ1,0,0（t，x，t）=e-κ（T-t） h（t，h（t，x，z，t），z，t）=e-κ（T-t） 此外，通过引理3.1，H1,0（t，x，z，t）=-h1,0（t，H（t，x，z，t），z，t）h类u（t，H（t，x，z，t），z，t）=-g（t，t）V（z）e-3κ（T-t） xe公司-κ（T-t） x=-g（t，t）V（z）e-2κ（T-t） ，与x无关，因此ψ1,1,0（t，x，z，t）=-Hx（t，x，z，t）H1,0x（t，x，z，t）=0。我们还有ψ1,0,1（t，x，z，t）=0。A、 2扩展ψε，δ回想一下，hε，δ的扩展的前四项不依赖于y。因此，ψ2,0,0=ψ2,0,1=ψ2,1,0=ψ2,1,1=0。此外，根据链式法则，我们得到ψε，δ（t，x，y，z，t）=-ψε，δ（t，x，y，z，t）Hyε，δ（t，x，y，z，t）。由此，我们得到ψ2,2,0（t，x，y，z，t）=-ψ1,0,0（t，x，t）H2,0y（t，x，y，z，t）=-e-κ（T-t） x个H2,0y（t，x，y，z，t）。为了计算H2，0，我们需要进一步展开hε，δ和hε，δ。