使用OCMat从0D到1D空间模型

（i）中切片流形解的目标值表明，在以Pd（0）=^PdPCSS开始的所有解中，收敛到寡营养平衡的路径是等时的。-10-5051000.510.60.811.2xiuPd0，u（a）初始分布歧管-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）Skiba解决方案的状态路径-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（c）Skiba解决方案的状态路径0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2JPdI（d）目标值交叉-10-505100501000.10.150.20.25xitud（e）Skiba溶液控制路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（f）Skiba溶液的控制路径图7：该图显示检测到有图案的Skiba分布及其在Skiba流形上的不同Skiba分布的延续。要接收与面板（a）、（b）和（e）相关的动画文件，请联系作者。4.4第二种情景在b=0.65的第一种情景中，我们只发现富营养和寡营养平衡为自由／开源。这在某种程度上类似于0D模型，其中CSS不会出现在最佳系统中（见图3）。第二种情况下0D模型的结果表明，除了富营养化和寡营养化CSS之外，不稳定节点（CSS-) 显示为两个CSS的景点区域限制。因此，我们可以预期FCSS-在模型（20）中是最优的。因此，也包括PCSS-不能排除为最佳。因此，我们分析了两种不同的情况，c=3.5，其中PCS均不满足SPP，c=3.0825，其中一种PCS满足原始浅水湖模型的SPP（16）。这两种情况在性质上是相同的（见图4）。4.4.1模式平衡不满足SPP对于c=3.5，我们试图找到从FCS状态开始的解决方案-（^PdFCSS-) 还有一个-并向富营养化（寡营养化）FCS汇合。图8描述了该分析的主要结果。

第一列（a、d和g）中描述的示例类似于图4所示的0D模型中的情况。因此，不可能从FCS的初始状态开始找到解决方案-并汇合到富营养化或营养化的FCSS。相反，在延续过程中，^pdfcs的初始状态-已接近，但无法访问。在图8a中，绘制了最终结果的相位图，这类似于0D中的状态共状态空间（参见图4a）。在图8c中，我们看到均匀初始分布的目标值是连续的（参见图4b）。因此，对于空间均匀的初始分布，最优路径是唯一的，其中^PdFCSS-分离富营养（贫营养）平衡^Pd、eFCSS（^Pd、oFCSS）的吸引区域。精确从^PdFCSS开始的解的最优状态路径-（平衡溶液，黑色）和附近（蓝色和绿色）如图8d所示。对于每个PCS重复这些步骤，图8最后两列中描绘了两个示例，得出这些平衡中的每一个都是最优的，即，都是pos。由于没有一个PCS满足SPP，这些平衡和它们的稳定流形将FOSS的吸引区域分开。在这一点上，有几个问题仍然没有解决平衡点的缺陷是否不满足状态离散化的SPP常数这对最初的PDE问题意味着什么我们能说不满足SPP的平衡点及其稳定流形将满足SPP的解的吸引区域分开吗PDE问题的状态空间是什么？4.4.2图案平衡满足SPP在本节中，我们用数值检查c=3.0825的唯一图案平衡PCSS是否为POSS（见图5b）。

因此，我们必须证明，不存在从^pdpcs开始的正则系统方程（21）的其他解路径，从而产生更大的目标值。唯一其他候选的是富营养和贫营养FCS的稳定路径。图9d和图9e描绘了寡晶与图案化平衡的数值比较结果。找到满足Pd（0，1）=^PdpcsandLimt的可行路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））→∞（Pd（t，κ），λd（t，κ））=（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和κ∈ [0，1]我们从常数平衡解（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）开始求解同伦问题方程（25）。延续过程表明，不可能找到κ=1的可行路径，而是接近某个值κ<1。最后计算的路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））与相应的切片流形（黑色虚线）一起显示在图9a中。接下来，我们重复了反向同伦问题的步骤，从恒定模式解（PdPCSS，λdPCSS）开始，并试图找到可行路径（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ） ）满足Pd（0，0）=^Pd，OFCSANDLIMT→∞（Pd（t，1- κ） ，λd（t，1- κ） ）=（^PdPCSS，^λdPCSS）带κ∈ [0, 1].继续过程再次表明，不可能找到κ=0的可行路径，而是大约1的某个值- 接近κ。该溶液（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ） ）在图9b中由蓝色溶液路径和黑色切片流形表示。两个连续过程的最后两条解路径表明，寡营养FCSS和PCSS的吸引区域存在一个分离流形。该分离歧管的一个可能候选歧管是PCS的稳定歧管-有缺陷-1（参见 在图9c）中）。为了验证这个猜想，我们解决了同伦问题方程（29）的缺陷平衡。

对于x（1），我们取Pd（0，κ）（第一个同伦问题的最后一个连续步骤的初始状态）并设置V：=（1，…，1）∈ RN+1，满足秩条件等式（29d）。该同伦问题的最后一个解（Pd（·，1），λd（·，1））如图9d中的蓝色虚线所示，并为我们的猜想提供了大量的数值论证。整体图（图9d）表明，对于每个ε>0，存在κ和κ，因此存在溶液（Pd（·，κ），λd（·，κ））和（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ） k（Pd（0，κ），λd（0，κ））的同伦问题- （Pd（0，1），λd（0，1））k<ε和k（Pd（0，1- κ） ，λd（0，1- κ)) - （Pd（0，1），λd（0，1））k<ε，甚至强ERK（Pd（·，κ），λd（·，κ））- （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε和k（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ)) - （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε。绘制沿相应切片流形的解评估的目标值，表明目标函数在Pd（0，1）附近是连续的，见图9e。类似的结果可用于比较向富营养化FCSS和PCSS收敛的稳定路径。这很好地证明了FCSS和PCSSas的最优性。同样，根据c=3.5的情况，有缺陷平衡的稳定模式将满足SPP的平衡的吸引区域分开。图9f显示了c=3.0825的状态共状态空间中的相图（部分）。平衡点的下标表示相应平衡点的缺陷。因此，存在两个FCS（^Pd、EFCS和^Pd、OFCS）和一个PCS（^PdPCSS）。此外，还绘制了一些路径，这些路径汇聚到^Pd、eFCSS、^Pd、oFCSS和^PdPCSS（纯蓝）以及PCS-有缺陷-1（蓝色虚线）。图9d和图9c分别说明了收敛到寡营养平衡（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和模式平衡（^PdPCSS，^λdPCSS）的溶液的具体情况。

9e。5结论本文的目的是提出一个数值框架，使我们能够对一维空间分布最优控制问题进行数值实验。数值实验在哈维西德的意义上是有意义的，他声称数学是一门实验科学，参见哈维西德（1893）。0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | 2 | |λd | | 2 F SS0F SS-（a） 继续到Pd（0）≈^PdFCSS-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | 2 | |λd | 2 F SS0HS S-（b） 继续到Pd（0）≈^PdPCSS-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11213141516171819202122 | | Pd | | 2 | |λd | 2 F SS0HS S-（c） 继续到Pd（0）≈^PdPCSS--10-5051005001000.50.60.70.80.9xitPd（·）（d）从^PdFCSS附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（e）在^pdpcs附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（f）在^pdpcs附近开始的状态路径-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（g） 沿切片歧管的目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（h） 沿切片歧管的目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（i） 沿切片歧管的目标值图8：该图描述了FCS最优性的数值证明-和PCS-c=3.5时，即不满足SPP的平衡的最优性，以三个平衡为例。在第一行（a）-（c）中，相应连续过程的切片流形在赋范状态共状态空间中进行了描述。第二行（d）-（f）显示了从FCS及其附近开始的解决方案的状态路径-和PCS-, 分别地最后一行（g）-（i）说明了目标函数在FCSS的常数平衡解附近是连续的-和PCS-.

因此，不满足SPP的平衡也是最优的。0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.515115.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | 2 FCSS0（Pd1（·，κ0），λd1（·，κ0））S（F（0），H（0），κ）（a）同伦FCSSto PCSS0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51616.51717.517 8 | | Pd | | 2 | |λd | 2 HCSS0（Pd2（·，1- κ0），λd2（·，1- κ0）S（F（0），H（0），1- κ） （b）同伦PCSTO FCSS0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | Pd | 2 |λd | 2 HCSS-（Pd3（0，1），λd3（0，1））（Pd3（·，1），λd3（·，1））（c）同伦PCS-至P（0，κ）0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.5151515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | | 2（d）切片流形和求解路径13 14 15 16 18-19-18-17-16-15-14-13-12-11 | |（Pd，λd）| | 2J（e）目标值0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.21314151617181920F（0）F(-4） F（0）小时(-3） H类(-2） H类(-1） H（0）小时(-1） H类(-2） | | Pd | | 2 | |λd | | 2（f）相图9:In（f）描绘了状态共状态空间中的一些溶液路径和平衡。（d）和（e）中所示的解决方案是连续过程的结果，当我们试图从POSS状态开始找到解决方案，并收敛到寡养FOSS，反之亦然。延续过程接近PCS稳定流形（蓝色虚线）上的状态-有缺陷-因此，对于初始状态与有缺陷的稳定流形的状态重合的情况-1沿着稳定流形收敛到有缺陷的POSS是最优的-1、在这些初始状态的附近，最好是收敛到寡养FOSS或满足POSS的SPP。要接收与面板（d）相关的动画文件，请联系作者。因此，我们能够找到分布式模型中出现（差异）阈值分布的数字证据。

此外，这指向鞍点性质的可能推广，在多个正则稳态（CSS）的情况下，鞍点性质与多个最优解的存在密切相关。尽管这种简单的FDM也可以应用于空间二维模型，但这种方法将立即在数值上变得难以处理。因此，这是有限元离散化方法的中间步骤，在Grassand Uecker【2015】中提出，在Uecker【2015】中扩展。所提出方法的进一步研究结果的不同方向。显而易见的下一步是前面提到的有限元离散化应用。这是作为MATLAB软件包pde2path的附加工具箱（p2pOC）实现的，pde2path是二维椭圆系统中用于延拓和分岔的数值工具，参见Uecker等人【2014年】。实际方法的一个主要缺点是难以处理（不平等）约束。为了正确使用所用BVP阀，动力学的rhs必须至少连续可区分。当约束处于活动状态时，将违反此属性。我们通过考虑解路径的不同弧来解决这个问题，其中每个弧都满足可微性条件。对于非分布式模型，这通常是一种可行的方法，但对于分布式模型，这很难实现。因为对于从一个电弧到另一个电弧的每次过渡，必须说明相应的切换条件。

对于高维离散化系统，这种ansatz很快变得难以处理。因此，我们将致力于开发基于有限元离散和共轭梯度法并结合连续步骤的解算器。在本节中，我们阐述了计算收敛到正则系统平衡点的路径的基本方法。A、 1核心问题必须解决的核心问题如下。给定平衡（^x，^λ）和初始分布x，我们希望找到一条满足等式（3）以及边界条件x（0）=x和limt的路径（x（·），λ（·））→∞（x（t），λ（t））=（^x，^λ）。（22）相应特征空间0的尺寸<尺寸Es（^x，^λ）=ns≤ n、 然后，式（22）中的边界条件可以用所谓的渐近边界条件来近似【比照Lentini，1978，Lentini和Keller，1980】Ohm>^x^λ-x（T）λ（T）= 0∈ R2n-ns，Ohm ∈ R2n×（2n-ns）和Ohm⊥ Es（^x，^λ）（23），T>0足够大。对于紧凑表示法，我们引入X：=xλ式（21）表示为˙X（t）=F（X（t））。可从以下网站免费下载http://www.staff.uni-oldenburg.de/hannes.uecker/pde2path.Then之前的BVP写入为˙X（t）=t F（X（t）），t∈ [0，1]（24a）X（i，…，ins）（0）=X（i，…，ins）（24b）Ohm>（^X- X（1））=0。（24c）如果^X satis SPP，则ns=n，等式（24b）简化为X（1，…，n）（0）=X。为了保持符号简化，我们假设X的坐标已排序，以便（i，…，ins）=（1，…，ns）=：（ns）。然后。（24b）可以重写，因为x（ns）（0）=x（ns）（24b’）通常无法解析求解BVP（24），因此必须应用数值方法。这些数值方法需要一些初始函数▄X（·）。

这样一个初始函数不需要满足BVP（24），但根据问题的性质，它或多或少有一个良好的近似。如果没有这样一个初始函数，我们该怎么办？A、 2嵌入同伦问题如果方程（24）的解Y（·）可用，且Y（n）（0）=x（n）6=x（n），我们可以将方程（24）嵌入相应的同伦问题˙x（t）=t F（x（t），u），t∈ [0，1]（25a）X（n）（0）=X（n）+（1- κ） （x（n）- x（n））（25b）Ohm>（^X- X（1））=0。（25c）然后Y（·）求解公式（25），对于κ=0和κ=1，得到BVP（24）的解。OCMat使用弧长延拓法求解同伦Bvp（25）[库兹涅佐夫，1998年，Allgower和Georg，2003年]。因此，在每个同伦步骤i>0时，前面的解（X（i-1） （·），κi-1） BVP（25）与附加方程Z（X（i）（t）一起求解（X（i）（·），κi）- X（i）-1） （t））>V（i-1） （t）dt+（κi- κi-1） 五（一）-1） ，κ=0（25d），其中（V（i-1） （·），V（i）-1） ，κ）满足线性化BVP˙V（i-1） （t）=t FX（X（i-1） （t），u）V（i-1） （t），t∈ [0，1]（25e）V（n）（i）-1） （0）=V（i-1） ，κ（x（n）- x（n））（25f）Ohm>V（1）=0。（25g）溶液（V（i-1） （·），V（i）-1） ，κ）称为第一步的切解- 1、在实际的OCMat实施中，BVP（25a）–（25g）离散化，提供不同的离散化方案，依赖于两个本地MATLAB BVP解算器bvp4c、bvp5c【比照Kierzenka和Shampine，2001年、2008年】和适配解算器bvp6c【比照Hale，2006年，Hale和Moore，2008年】。离散化切线在每个牛顿步计算。这是一种特殊的弧长延拓，称为MoorePenrose延拓，参见Kuznetsov【1998年】。随后，我们引入一些术语来明确区分稳定路径和在延拓过程中计算的初始点集。定义A.1（切片歧管）。设X（·，κ（s）），s∈ 我 R，I为非空区间，k（·）∈C（I，R）是每s的等式（25）的解∈ 我

然后s（^X，X（ns），X（ns），κ（·））：={X（0，κ（s））：s∈ 一} （26）称为沿x（ns）的切片流形，x（ns）表示^x和κ（·）。定义A.2（可比薄片歧管）。设^X满足SPP和S（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），sj∈Ij，j=1，2是沿xj的两片流形，xj对于^Xjandκj（·），xj6=xj，j=1，2。然后（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），j=1，2被称为可比系数{x+（1- α） （十）- x） ：α∈ R} ={x+（1- α） （十）- x） ：α∈ R} （27）持有。如果可比片流形满足{x+（1- κ（s））（x- x） ：s∈ I}∩ {x+（1）- κ（s））（x- x） ：s∈ 一} 6= （28）据说薄片歧管是相交的。备注A.1。切片流形是通过稳定流形的线性切割。在两个不同切片流形的相交处，给出了相同（初始）状态x的切割。因此，相应路径是x（0）=x的最优控制问题的（不同）候选解。对于稳定路径（x（·），λ（·））收敛到（x，x（T），x，id[0,1]）={（x（T），λ（T））：T的单状态自治最优控制问题∈ [0，T]}。因此，稳定路径的轨道与稳定流形重合。此外，不同鞍座的两片歧管具有很小的可比性。有充分的理由考虑BVP（25）而不是BVP（24）。对于任意初始点，xit通常很难为BVP（24）提供初始函数的“好”猜测。由于一般而言，BVP的解不是唯一的，因此可能无法保证计算出的解是搜索到的解。另一方面，对于初始点^x，平衡解平凡地满足BVP（24）。因此，同伦BVP（25）可以从精确解开始。然后，只要满足某些秩条件，隐函数定理就可以保证唯一解的存在。