省一分钱就是赚一分钱：更便宜的零息债券

Loewenstein和Willard（2000年）。现在让我们为第i种货币面额引入Radon-Nikodym导数过程，用∧i表示=∧i（t），0≤ t型≤\'\'T, 通过设置∧i（t）=^Bi（t）^Bi（0），i=1，N、 （2.8）这是第i种货币面额的假定风险中性度量值QI的风险中性密度。例如，当我们考虑可复制索赔并假设存在等效的风险中性概率测度Qi时，就会出现这种情况。当每个∧等于相应的基准储蓄账户^Bi（高达常数因子）时，∧iis显然是一个P-局部鞅，对于i=1，N、 外汇文献中的经典假设，即每个货币面额都存在一个等价的风险中性概率测度，对应于每个过程∧iI是i=1，…，的真鞅的要求，N、 这一要求相当强烈，可能会被经验所拒绝，参见Heath and Platen（2006）、Baldeaux等人（2015b）的发现以及Hulleyand Ruf（2015）的必要和有效条件。因此，在本文中，我们将允许每个∧ito要么是真鞅，要么是astrict局部鞅。要在这样一个广义的环境下工作，需要一个比经典风险中性范式下提供的更一般的定价概念。在下文中，我们将采用真实世界定价的概念：价格过程Vi=Vi（t），0≤ t型≤\'\'T, 这里以第i种货币表示，如果以GOP Di的单位表示，形成P-鞅，这意味着其基准值形成真正的P-鞅，这是公平的，请参见Platen and Heath（2010）中的定义9.1.2。

对于固定到期日∈ [0，\'T]，我们让H（T）=V（T）是一个FT可测量的非负基准或有权益，这样当用第i种货币单位表示为Hi（T）=Di（T）H（T）时，我们就得到了E（H（T）| FT）=EHi（T）Di（T）英尺< ∞对于所有0≤ t型≤ T≤\'T，i=1。。。，N、 该或有目标的基准公允价格^V（t）=Vi（t）/Di（t）是最低可能价格，由真实世界概率测度P下的以下条件预期给出：^V（t）=Eh^H（t）Fti（2.9）在文献中被称为现实世界定价公式，参见Platen and Heath（2010）中的推论9.1.3。请注意，Du和Platen（2016）中描述的基准风险最小化一般给出（2.9）。在∧iis为真鞅的情况下，通过将（2.9）中的真实世界概率测度P改为等价的风险中性概率测度Qi，我们得到了风险中性定价公式vi（t）=EBi（t）Bi（t）Bi（t）Bi（t）Di（t）Di（t）Hi（t）英尺= E∧i（T）∧i（T）Bi（T）Bi（T）Hi（T）英尺= EQi公司Bi（t）Bi（t）Hi（t）英尺.（2.10）这表明，在这种情况下，真实世界的定价公式概括了经典的风险中性估值公式，相应风险中性概率测度的Radon-Nikodym导数由（2.8）给出。一般而言，由于∧is为严格的超级定价时，基准价格过程的超级定价特性，正式获得的风险中性价格大于或等于实际世界价格，见Du和Platen（2016）。稍后，我们考虑零息票债券的定价。根据（2.9），以第i种货币计价并在到期时以第i种货币单位支付的零息债券在t时的最低可能价格PI（t，t）由公式PI（t，t）=Di（t）E给出Di（T）英尺. （2.11）所有基准非负价格过程都是超级马丁格尔。

因此，如前所述，未定权益的公平价格过程是最小可能的价格过程。可能存在更为昂贵的价格流程来提供相同的回报。正如我们稍后将展示的那样，在很长一段时间内，正式获得的风险中性价格可能会比公平价格昂贵得多。本文关注的是，与经典范式下的建议相比，可能产生成本更低的长期零息票债券的可能性。例如，这允许以较低成本制作合同，将长期零息债券作为构建模块，如养老金、年金和人寿保险。3 4/2模型为了证明现实中可能存在可对冲的长期零息票债券价格过程，这些过程的成本明显低于各自的风险中性价格过程，我们需要一种模型来捕捉市场上存在的这种现象。在本节中，我们提供了这种模型，称为4/2模型。下面，我们描述了4/2模型，该模型自然地将几个著名的模型结合在一起。在第3.3小节中，我们陈述了4/2模型中基准储蓄账户的关键鞅性质失效的精确条件。3.1 4/2模型作为一个统一的框架，在本小节中，我们提供了汇率波动动力学的规范。特别是，为了简单起见，我们考虑了两种货币，其中D（t）以本币表示GOP，D（t）以外币表示GOP。

例如，S1,2（t）=D（t）/D（t）可以遵循赫斯顿类型的随机波动率模型（见赫斯顿（1993）），其中DS1,2（t）S1,2（t）=r（t）- r（t）dt+pV（t）（dZ（t）+λ（t）dt），S1,2（0）=S1,2>0，dV（t）=κ（θ- V（t））dt+σV（t）1/2ρdZ（t）+p1- ρdZ⊥（t）,V（0）=V>0。（3.1）此处Z⊥=Z⊥（t） ，0≤ t型≤\'\'T是与Z无关的P-布朗运动，κ>0，θ>0，ρ∈ [-1，1]具有可预测过程r，randλ。在本文的其余部分，我们将重复使用以下术语：赫斯顿（类型）模型、3/2（类型）模型、4/2（类型）模型。现在让我们澄清各自的模型。在下文中，我们考虑A、b∈ R、 让Di=Di（t），0≤ t型≤\'\'T表示满足ascalar离散随机微分方程（SDE）的GOP过程的一般占位符。此外，让V=V（t），0≤ t型≤\'\'T是（3.1）中给出的平方根过程。如果GOP动力学中的扩散系数与apV（t）（分别为b/pV（t），分别为b/pV（t），则称模型为Heston型（分别为3/2型，分别为4/2型）。（apV（t）+b/pV（t）））。我们想解决的问题如下：给定证券本币面额的riskprocessλ市场价格规格，GOP的国内和国外规格的相关动态是什么？引理3.1。考虑一个双货币模型，其中S1,2的汇率模型为Heston类型（3.1）。以下陈述成立：1。如果λ（t）=apV（t），a∈ R、 然后是共和党的面额，并遵循赫斯顿式的模式。2、如果λ（t）=b√V（t），b∈ R、 然后，共和党的命名遵循3/2模式，而D遵循4/2模式。3.

如果λ（t）=apV（t）+b√V（t）、a、b∈ R、 然后，共和党的面额和下面的两个4/2的类型。附录A中给出了该结果的证明。请注意，如果我们在（3.1）中以波动率1/pV（t）开始，那么λ（t）=b√V（t）我们总是会陷入4/2型模型的世界。引理3.1强调了几个著名金融模型之间有趣的相互作用。它表明，当风险的市场价格属于本质上的a类时，4/2模型自然产生于标准的赫斯顿模型（见Duffee（2002））。此外，它还表明，4/2模型提供了一个通用框架，可以嵌套其他流行的模型选择。风险市场价格的不同规格不仅影响GOP动态的形状。事实上，根据模型参数的校准值，我们可能会遇到这样的情况：由于不存在等效的风险中性概率度量，经典的风险中性定价不再可能。为了看到这一点，我们观察到，通过在Heston模型设置中直接检查（3.1）中的动力学，很容易确定以下两个连续过程zq（t）：=Z（t）+Ztλ（s）dsZQ（t）：=Z（t）+Ztλ（s）-pV（s）ds，（3.2），如果Girsanov定理的假设在这两种情况下都得到满足，那么它将是Q-（分别为Q-）布朗运动。让我们假设，在真实世界的概率测度P下，Fellercondition（见Karatzas and Shreve（1991），第5.5节）由挥发过程V的参数填充，即我们有2κθ- σ≥ 0，因此平方根过程V对于所有t保持严格正的P-a.s∈ [0，\'T]。

下面的引理表明，根据λ的规格，有可能在假定的风险中性度量下获得方差过程V，该方差过程V可能不满足条件，这意味着假定的风险中性度量可能无法与真实世界的概率度量等价。引理3.2。考虑一个双货币模型，其中汇率S1,2的动态为theHeston类型（3.1），因此方差过程完全符合Feller条件，即2κθ- σ≥ LetZQ，ZQ，如（3.2）所示，分别是假定的风险中性测度qan和Q下的候选布朗运动。以下观点成立：1。对于假定的风险中性度量Qwe得到：（a）如果λ（t）=apV（t），a∈ R、 然后方差过程V在Qisκ（θ）下的漂移- V（t））- σρaV（t）和Feller条件总是在Q下满足，Q是真正的等价鞅测度。（b） 如果λ（t）=apV（t）+b√V（t）、a、b∈ R、 然后方差过程V在Qequalsκ（θ）下的漂移- V（t））- σpV（t）ρapV（t）+bpV（t）！如果λ（t）=b，则可能违反Feller条件，这意味着Qmay不等于P.（c）√V（t），b∈ R、 然后方差过程V在Qisκ（θ）下的漂移- V（t））- σρ带可能违反Feller条件，这意味着Qmay不等于P.2。

对于假定的风险中性度量Qwe有（a）如果λ（t）=apV（t），a∈ R、 然后方差过程V在Qequalsκ（θ）下的漂移- V（t））- σρ（a- 1） V（t）和Feller条件在Q下总是满足的，Q是真正的等价鞅测度。（b） 如果λ（t）=apV（t）+b√V（t）、a、b∈ R、 然后方差过程V在Qequalsκ（θ）下的漂移- V（t））- σpV（t）ρ（a- 1） pV（t）+bpV（t）！并且可能违反Feller条件，这意味着在这种情况下，如果λ（t）=b，则q不等于P.（c）√V（t），b∈ R、 然后方差过程V在Qisκ（θ）下的漂移- V（t））- σρb+σρV（t）和Feller条件可能会被违反，这意味着在这种情况下，q不等于P。使用我们之前的符号和关系，这些陈述的证明很简单，因此省略了。3.2 4/2模型的正式呈现为了在两种以上货币的情况下提供市场风险价格的具体说明，我们继续引入Rd值非负随机过程，称为波动率因子过程，我们用V表示=V（t）=（V（t）。。。，Vd（t）），0≤ t型≤\'\'T. 假设向量过程V的第k分量Vkof解SDEdVk（t）=κk（θk- Vk（t））dt+σkVk（t）1/2dWk（t），Vk（0）=Vk>0，（3.3）对于t∈ [0，\'T]，其中参数κk>0，θk>0，σk>0，在Du ffe et al.（2003）的意义上是可接受的，k=1。。。，d、 此外，为了避免零波动率因素，我们采用以下假设。假设3.1。对于每k=1，d、 （3.3）中的参数满足关系2κkθk- σk≥ 0。（3.4）我们还通过以下条件考虑了资产及其波动率之间的非零相关性：假设3.2。

布朗运动Z和W具有满足Dhwk的协变量，Zli（t）dt=δklρk，k，l=1。。。，d、 （3.5）式中，δkl表示指数k和l的狄拉克δ函数。然后，我们继续提供风险市场价格系列的一般规范。假设3.3。我们假设风险向量πi（t）的第i个市场价格是常见波动率因子V沿常数向量ai参数化的方向的投影∈ Rd和V的反向元素沿bi参数化的另一个方向的投影∈ Rd，根据以下关系πi（t）=Diag1/2（V（t））ai+Diag-1/2（V（t））bi，i=1。。。，N、 （3.6）其中，Diag1/2（u）表示对角线矩阵，其对角线条目为向量u各分量的平方根∈ Rd.短速率过程族ri，i=1。。。，假设N开始于公式ri（t）=hi+hHi，V（t）i+hGi，V-1（t）i，（3.7），其中V-1是一个向量，其分量与V的分量相反。在假设3.3下，我们可以表示GOP的动力学asdDi（t）Di（t）=ri（t）+（ai）>诊断（V（t））ai+（bi）>诊断-1（V（t））bi+2（ai）>bidt+（ai）>诊断1/2（V（t））dZ（t）+（bi）>诊断-1/2（V（t））dZ（t）。这里我们抑制了rion V依赖性的显式表达式。因此，SDEdSi，j（t）Si，j（t）给出的汇率动态Si，jis=（ri（t）- rj（t））+2（ai）>铋- （ai）>北京- （aj）>铋+（ai）>诊断（V（t））（ai- aj）+（bi）>诊断-1（V（t））（bi- 北京）dt+（（ai- aj）>诊断1/2（V（t））+（bi- bj）>诊断-1/2（V（t）））dZ（t）。（3.8）请注意，汇率动态是完全功能对称的w.r.t。

产品/比率的结构。3.3严格的本地马丁尼在第3.1节中，我们观察到，对于agiven货币的市场风险价格的有效通用规范，由于假定的风险中性度量下的方差过程接近零的行为，我们可能会出现一种情况，即等效的风险中性概率度量可能不存在。在本小节中，我们研究了第i个基准储蓄账户^Bi（t）=Bi（t）Di（t）是严格P-局部鞅，i=1。。。，N、 如第2.2节所述，在初始时间归一化为1后，^Bi（t）对应于第i种货币面额的假定风险中性度量的Radon-Nikodym导数。如果^Bi（t）是严格的P-局部鞅，我们注意到经典的风险中性定价是不适用的。然而，符合（2.9）的实际价格仍然适用，请参见Platen和Heath（2010），并提供尽可能最低的价格。给定（2.7）和（2.4），^Bi（t）的动力学由SDEd^Bi（t）=-^Bi（t）（（ai）>（Diag（V（t）））1/2dZ（t）+（Bi）>（Diag（V（t）））-1/2dZ（t））。（3.9）整合上述SDE后，我们获得了Eh^Bi（t）i=BidYk=1Eξik（t）,其中我们定义了指数局部鞅过程ξik=ξik（t），t≥ 0通过ξik（t）：=exp-ρkZt（aikVk（s）1/2+bikVk（s）-1/2）载重克朗-ρkZt（aikVk（s）1/2+bikVk（s）-1/2）ds.（3.10）涉及第i种货币面额的假定计量变更dWk（t）=dWk（t）+ρk（aikVk（t）1/2+bikVk（t）-1/2）dt，其中在经典假设下，在假定的风险中性度量Qi下，wk应为维纳过程。在这个度量下，过程Vkwould然后求解SDEdVk（t）=κk（θk- Vk（t））dt- ρkσk（aikVk（t）+bik）dt+σkVk（t）dWk（t）=（κkθk- ρkσkbik）dt- κk（1+ρkσkaikκk）Vk（t）dt+σkVk（t）dWk（t）。

（3.11）在P下，如果伐木条件满足，即2κkθk，则过程Vkdoes不会达到0≥ σk，而在假定的风险中性度量下，如果满足相应的条件，即2κkθk，则过程vk不会达到0≥ σk+2ρkσkbik。因此，如果σk≤ 2κkθk<σk+2ρkσkbik。（3.12）在这种情况下，假定的风险中性度量将不是等效的概率度量，经典的风险中性定价将没有充分的依据。为了直观了解处理真实和严格的局部鞅时的典型路径行为，我们根据相应的SDE（3.9）模拟了第i种货币面额^Bi（t）=Bi（t）Di（t）的假定风险中性度量的Radon-Nikodym导数的一些路径，以及相应的二次变化过程，时间范围t=10年。在本说明中，我们考虑了4/2模型的单因素规范（即d=1），并确定了如下参数：κ=0.49523；θ = 0.53561; σ = 0.67128; V（0）=1.4338；ρ = -0.89728; a=0.047360。我们让参数b在区间内变化[-0.4，0.4]以生成过程^bi是真鞅（b正）或严格局部鞅（b负）的情况。我们在图1中看到，严格局部鞅过程的二次变差几乎会不时爆发，并通过这些向上跳跃而增加，视觉上比真实鞅过程对应的情况快得多，这与众所周知的平方可积严格局部鞅的无界预期二次变差过程一致，参见例如。