清理大型相关矩阵：来自随机矩阵理论的工具

为了确定这个数量，有必要引入斯蒂尔杰斯变换的函数逆，也称为蓝色变换[64]B（g（z））=z，（2.15），而R变换仅由R（ω）=B（ω）定义-ω. （2.16）注意，可以从（2.13）中推断出以下性质：对于任何∈ R、 一个很好的性质是，R变换允许在极限ω上进行泰勒展开→ 实际上，通过将ω=g（z）插入公式（2.16），我们得到了公式（g（z））+g（z）=z（2.18），然后，我们可以在z的幂展开Stieltjes变换后发现-1 R（ω）可扩展为R（ω）=∞X`=1κ`（M）ω`-1（2.19）其中序列{κ`}`≥0表示阶自由累积量，表示为矩阵矩的函数。为了完整性，我们给出了前四个自由累积量：κ=Дκ=Д- φκ= φ- 3φφ+ 2φκ= φ- 4φφ- 2φ+ 10φφ- 5φ. （2.20）请注意，前三个累积量等效于普通随机变量的“标准”累积量，且仅与`>4不同。例如，请注意，当Д=0时，一个结果是κ=Д-2х，而标准峰度应为-3φ. 结果表明，独立随机矩阵之和的自由累积量（在下文规定的意义上）由这些随机矩阵的累积量之和给出，即κ`（M）=κ`（a）+κ`（B），见下文第2.3节。矩母函数和S变换。LSDρ的矩母函数由t（z）…=zg（z）- 1=Zduρ（u）uz-u、 （2.21）通常称为T（或有时为η[54]）变换[39]。实际上，通过取z→ ∞, 一个即时投资（z）=∞Xk=1Д（Mk）zk。（2.22）然后我们可以引入所谓的S变换，如[62]：S（ω）=ω+1ωT-1（ω）（2.23），其中T-1（ω）是T变换的函数逆。利用TM（z）的z次幂级数展开-1和等式。

（2.20），我们发现S变换也允许泰勒级数，其表示为：SM（ω）=Д+ωД（Д- φ) +ωφ(2φ- φφ- ИИ）+O（ω）=κ-κκω +2κ- κκω+O（ω）。（2.24）从最后一个等式中，不难看出具有零迹的矩阵M的S变换是不确定的。因此，Wigner矩阵的S变换没有意义，但在处理正有限协方差矩阵时，它会非常有用（见第2.3.3节）。最后，请注意，R变换和S变换之间存在关系R（ω）=S（ωR（ω）），S（ω）=R（ωS（ω））（2.25），这允许从S（z）推导R（z），反之亦然。R和Stransforms上的其他属性可以在[65]中找到。为了完整起见，让我们显示（2.25）的第二个等式。FirstId实体的推导过程类似，我们省略了细节。使用（2.16）和（2.23），得到一个sr（ωS（ω））=Bω+1T-1(ω)!-T-1(ω)ω + 1. （2.26）接下来，通过设置z=T-1（ω），我们可以将（2.21）重写为ω+1T-1（ω）=gT-1(ω). （2.27）因此，我们得出结论，R（ωS（ω））=T-1(ω) -g级T-1(ω)=ωgT-1(ω). （2.28）然后根据（2.27）得出结论。2.2. 库仑气体类比。有几种技术可以计算斯蒂尔特耶斯变换的极限值：（i）库仑气体法，（ii）矩量法，（iii）费曼图解展开，（iv）戴森布朗运动，（v）复制，（vi）自由概率，（vii）递归公式，（viii）超对称性。。。我们将在本节的其余部分向读者简要介绍（i）、（v）和（vi）。附录C和D.1.2中提到了戴森布朗运动（iv）和递归方法（vii）。力矩法（ii）参考文献[52]，费曼图（iii）参考文献[41，66]，或RMT求和参考文献参考文献[67]。

我们再次强调，本演示文稿在数学意义上并不严谨，更多细节请参考标准RMT教科书，如[49、52、53、56]。我们从库仑气体类比开始，粗略地说，它包括将M的IGENVALUE视为带电粒子的位置，通过2-D库仑（对数）势相互排斥（参见[68]中的自我介绍，或参见[41、50、69]中的具体应用）。在本节中，我们将强调当矩阵集合上的概率测度是旋转不变的，即形式为等式（2.1）时，势函数和Stieltjes变换g（z）之间的强联系。2.2.1. Stieltjes变换和势函数。首先，我们从（2.1）编写模型asZ的分区函数∝Ze公司-βNTrV（M）DM，这可以作为使用鞍点方法获得LSD的起点，或者更确切地说是其Stieltjes变换。这一关系首次在Br’ezinItzykson Parisi Zuber的开创性论文中得到，我们在此重复推导的主要思想（另见[70，第2.1节]）。让我们首先用M的特征值和特征向量表示配分函数，使用（2.2）：Z∝ZNYi=1dνi经验值-NNXi=1V（νi）-β2NXi6=jlog |νi- νj|,直到通过Haar测度d积分得到的常数因子Ohm. 然后通常引入动作S（{νi}）≡ S（ν，ν，…，νN），这样我们可以重写分区函数：Z∝ZNYi=1dνie-NS（{νi}），其中S（{νi}）=NNXi=1V（νi）-β2NXi6=jlog |νi- νj |，（2.29）注意，作用是标准化的，因此其大N极限为1阶。本征值可以视为一维粒子在外电势V（z）中的热气体，并受到（对数）“静电”排斥相互作用：这是库仑气体类比。

在热平衡条件下，本征值通常聚集在势阱中，但由于斥力的作用，本征值不能在最小值附近聚集，从而使它们保持在O（N）级的距离-1). 例如，如果我们取二次势函数V（x）=x/2，那么所有粒子都倾向于聚集在零附近，如图2.1所示。我们记得，我们只考虑在唯一紧支集上定义的密度（单切假设），因此我们要求活性粒子在一个限定的凸势V（z）中演化。我们所考虑的这类势函数的导数给出了一个洛朗多项式，即V（z）=pkckzk，其中k个整数是有益的。因为我们总是可以重写V（z）=z-`P（z），用V（z）的最小（负）幂和P（z）多项式的“阶”，我们用d定义V（z）的“阶”，它对应于P（z）的阶。特别地，如果V（z）是多项式，则`=0-2 0 2x012345V（x）图2.1。排斥性库仑气体的典型结构，其中N=20个粒子（红点），电势V（x）=x/2作为x的函数。在大N极限下，可以通过鞍点法计算特征值上的积分，该方法产生以下“力平衡”条件：V（νi）=βNNXj=1；j6=iνi- νj，i=1，N、 （2.30）似乎无法找到解这些N方程的特征值{λi}。然而，我们可能会发现LSDρMin为极限N→ ∞, 对应于满足这些鞍点方程的特征值的配置。在一次切割假设的情况下，结果为[41]：g（z）=V（z）- Q（z）p（z-ν++p（z-ν-), （2.31）其中ν-< ν+表示supp[ρ]的边，Q（z）也是d次洛朗多项式-1和订单“”。因此，我们看到需要确定d+1未知量，即q（z）的系数，ν-和ν+，使用级数展开（2.12）确定。

读者可能想知道，为什么处于热平衡的系统最终会被描述为简单的机械平衡，比如零温度下的系统。结果表明，该系统的有效温度非常低，熵效应为N级-1关于互动效应的比较，请参见例[69]了解详细讨论。Entropye效应开始在扩展的β系综中发挥作用，其中β=c/N，其中c是有限的，参见【71】。下文第2.2.3节对该程序进行了说明。我们观察到，一旦我们能够描述控制M入口的V（z）的势函数，我们就能够找到相应的LSDρM。我们将在本节的其余部分显示，库仑气体类比允许我们检索RMT中的一些重要定律。让我们展示如何获得（2.31）。下面我们将β设为1。首先，我们在（2.30）中引入预解式g（z）的正规化迹，将其两边乘以N-1（z- νi）-1对所有i求和，其中ieldsnnxi=1V（νi）z- νi=NNXi=1NXj=1；j6=i（z- νi）（νi- νj）。（2.32）注意，最后一个方程实际上是z的分析函数∈ C\\Supp[ρM]。然后，我们使用一些代数操作重写LH，使toNNXi=1V（νi）z- νi=V（z）g（z）-NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi，对于RHS，我们得到nnxi=1NXj=1；j6=i（z- νi）（νi- νj）≡g（z）+Ng（z）.将最后两个方程重新组合为鞍点方程（2.32），得出g（z）+Ng（z）= V（z）g（z）-NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi.由于我们对大N的极限感兴趣，因此我们必须为g（z）求解以下二次方程g（z）- 2V（z）g（z）+NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi=0。（2.33）最困难的项是最后一项，因为总和不明确。为了简单起见，我们考虑V（z）是d次>0的多项式的情况，因为洛朗多项式（即具有负幂的多项式）的扩展是立即的。

对于V（z）是z中的多项式函数，我们得到了p（z）=NNXi=1V（z）- V（νi）z- νiis也是一个多项式，但具有d次-1其系数可以稍后通过normalizationconstraint或通过匹配一些矩来确定。然后，式（2.33）的解为：g（z）=V（z）±qV（z）- 2P（z）。单切框架（即ρ的独特紧凑支撑）的优良特性是，上述表达式可以简化为（当d>1时）：g（z）=V（z）±Q（z）p（z- ν+（z- ν-)其中ν-ν+表示supp[ρ]的边，Q（z）是d次多项式-1得到（2.31）。在正定义协方差矩阵的情况下，我们可以使用与limitz对应的序列（3.23→ 02.2.2. 维格纳半圆定律。作为热身练习，我们从维格纳半圆定律开始，这是RMT中最重要的结果之一。请注意，这一结果首先是在具有独立且相同分布项的高斯矩阵的情况下获得的（同时保持矩阵的对称性）。对于实项，我们将这类随机矩阵称为高斯北正交系综（GOE）。已经证明，例如[52]，半圆定律可以扩展到更广泛的一类随机矩阵，称为Wigner系综，该系综处理具有独立且相同分布项的amatrix M，例如：Mij公司= 0和EMij公司= σ/N.（2.34）让我们在此考虑GOE矩阵的具体情况。对于高斯项，不难看出相关的概率测度Pβ（M）确实是具有电势函数V（M）=M/2σ的Boltzmann类型。从公式（2.31）中，我们注意到未知多项式Q（z）是一个常数，因为势的导数的阶数d=1。为了确定该常数，我们实施了Riemann-Hilbert问题的性质（ii），这使我们能够通过识别得到：Q（z）=1，ν±=±2σ。

因此，我们最终得出：gW（z）=z-√z+2σ√z-2σ2σ，（2.35），其中√· 表示以下所有的主平方根，即非负实数的非负平方根。方程（2.35）实际上是维格纳半圆定律的斯蒂尔杰斯变换。请注意，经常会看到上述结果写为gw（z）=z±√z- 4σ2σ，其中约定“±”表示我们必须选择正确的符号，例如g（z）~ z-1对于大z（Riemann-Hilbert问题的性质（ii））。然后使用反演公式（2.11）检索密度函数，该公式产生著名的维格纳半圆定律：ρW（x）=2πσp4σ- x、 | x |<2σ。（2.36）我们在图2.2中绘制了半圆的密度，并与从尺寸为N=500的aGOE矩阵中获得的ESD进行了比较。如本节开头所述，我们发现极限密度与大但有限尺寸矩阵的ESD非常一致。事实上，我们可以严格估计在有限N的ESD和N=∞,以N的形式消失-1/4只要Mij有一个固定的第四时刻-2/5如果Mijare finite的所有时刻（见[75]）。由于公式（2.35）的表达式相对简单，人们可以很容易地反转该表达式，以找到蓝色变换，从而发现半圆定律的R变换readsRW（z）=σz。（2.37）由于平均轨迹ν正好为0，Wigner矩阵的S变换是一个不明确的对象。矩阵元素的方差发散对应于L'evy矩阵的情况，见【72】。对于严格的方法，我们请读者参考[73]。有关最新发展，请参见[74]-2-1 0 1 2λ00.10.20.30.40.5ρ（λ）维格纳图2.2。

Wigner半圆密度（2.36）与一个样本N=500（直方图）的经验结果进行了比较，说明了在有限N时ESD收敛到渐近LSD。2.2.3. 马尔岑科牧场法。正如引言中所述，随机矩阵的研究始于约翰·威斯哈特（John Wishart）[8]。更准确地说，让我们考虑N×T矩阵Y，该矩阵由大小为N且协方差为C的随机中心高斯向量的T相关实现组成，然后将Wishart矩阵定义为N×N矩阵M as M..=T-1年*. 在多元统计中，这个矩阵M更被称为样本协方差矩阵（见第3章）。对于任何N和T>N，Wishart导出条目M的精确PDF，其内容为：Pw（M | C）=NT/2ΓN（T/2）det（M）T-N-1ET（C）T/2e-TTrC公司-1米。（2.38）正如引言中所提到的，我们说M（给定C）遵循Wishart（N，T，C/T）分布。在“各向同性”的情况下，即当C=In时，我们可以从（2.38）Pw（M | In）推断出∝ det（M）T-N-1e级-TTrM：=e-TTrM+T-N-1Tr log M，（2.39），显然属于玻尔兹曼系综（2.1）的类别。在下文中，我们将用W表示N×N矩阵，其分布由（2.39）给出。忽略次前导项，相应的势函数由：V（z）=2q[z]给出-(1 - q） log z]，当q：=N/T.（2.40）时，很容易看出导数确实给出了z中的洛朗多项式，因为v（z）=2qz[z-(1 - q） 】。按照我们的约定，V（z）是一个1次且`=-因此，我们推断（2.32）中的Q（z）是c/z形式，c是一个常数，用（2.12）确定。我们将Stieltjes变换g（z）的计算推迟到本节末尾。最终结果为：g（z）=（z+q- 1) -√z-ν-√z-ν+2qz，ν±..=(1 ±√q） （2.41），这是Marˇcentko和Pastur在[17]中发现的解决方案，在特殊情况下C=in。

现在，我们可以使用反演公式（2.11）来确定著名的马钦科牧场（MP）定律（forq∈ （0，1））ρMP（ν）=p4νq- （ν+q-1） 2qπν，ν ∈ν-, ν+. （2.42）注意，对于q>1，很明显可以看到M有N- T贡献（1）的零特征值- q） δ至密度公式（2.42）。注意，当q<1时，ESD向渐近MP定律的收敛速度与Wigner情形相同，即N-2/5在当前情况下，Y的随机元素是高斯的（有关此问题的详细讨论，请参见[76]）。同样，g（z）的表达式非常简单，可以获得Blue变换的闭合公式，并从公式（2.41）推导出MP定律的R变换：RMP（ω）=1-qω。（2.43）可以使用关系式（2.25）计算MP定律的S变换：SMP（ω）=1+qω。（2.44）我们现在通过完整应用等式（2.32）中引入的BIPZ形式推导出Stieltjes变换（2.41）。如上所述，各向同性Wishartmatrix的Stieltjes变换（2.32）的形式为g（z）=2q“1-1.- qz公司#-czpz公司- ν+pz- ν-, （2.45），我们必须确定的常数是c，ν+和ν-. 为此，我们使用（2.12）告诉我们当| z |→ ∞g（z）=z+Д（M）z+O（z-3). （2.46）另一方面，通过取极限z来结束→ ∞ 转化为（2.45）thatg（z）=2q“1-1.- qz公司#- c“1-ν++ ν-2z-(ν+- ν-)8z#+O（z-3） ，（2.47）然后，通过将最后一个等式与（2.46）进行比较，我们可以通过注意到我们有一个leadingorder2q来验证c- c=0，因为g（z）表现为O（z-1） 对于非常大的z，因此我们有c=2q。（2.48）接下来，我们在订单O（z-1):1 = -(1 - q） 2q+ν++ν-4q，（2.49），也就是说ν+=2（1+q）- ν-. （2.50）最后，根据O（z）级条件确定最后一个常数-2） ，ν（M）=（ν）+- ν-)16q，（2.51），相当于ν-= ν+- 4pqД（M）=（1+q）- 2.√q=（1-√q） ，（2.52），其中我们在第三步中使用（2.50）和Д（M）=1。

因此，我们从（2.50）推断出ν+=（1+√q） 结果（2.41）来自方程式（2.48）、（2.50）和（2.52）。2.2.4. 逆Wishart矩阵。另一个非常有趣的例子是Wishart矩阵的逆矩阵，简称为“逆Wishart”矩阵。根据Marˋcentko Pastur定律（2.42），相应特征值密度的推导非常简单。实际上，我们只需要改变变量u=（（1- q） ν）-1根据公式（2.42）得出：ρIMP（u）=κπup（u+- u） （u）- u-), u±=κκ + 1 ±√2κ + 1, （2.53）其中，下标IMP表示“逆Marˇcenko Pastur”，κ与q相关，通过hq=2κ+1∈ (0, 1) . （2.54）特别注意到，u±=（1- q） /ν其中ν在公式（2.41）中定义。我们在图2.3中绘制了Marˇcentko Pastur的密度（2.42）及其逆密度（2.53），参数q=0.5。除了特征值密度（2.53），还可以推导第2.1.2节中所述其他变换的显式表达式。对于Stieltjes变换，必须应用变量u=（（1）的相同变化- q） z）-1并使用属性（2.13）和（2.14）获得：giw（u）=u（κ+1）- κ - κ√u-u-√u-u+u，（2.55），其中边界u±在等式（2.53）中给出。我们可以很容易地用反演公式（2.9）检查，我们确实按照预期检索到了态密度（2.53）。然后，使用Stieltjes变换（2.55），可以计算逆马尔ˋ岑科牧场密度的R变换，以确定密度（ω）=κ-pκ（κ-2ω）ω，κ>0，（2.56），然后，从（2.25）开始，S变换readsSIMP（ω）=1-ω2κ. （2.57）系数（1- q）-1引入1以将平均值保持在1，如下所述。0 1 2 3 4 5 6λ00.511.5ρ（λ）MPI图2.3。红色虚线对应于q=0.5的马伦科牧场密度（2.42）。