短暂离散价格变动的连续时间分析

到达事件的生存期由拖网功能决定。假设拖网函数d严格递增，因此是可逆的。然后我们可以想到G（s），1-d(-s） （带G(∞) , 1） 作为s的寿命的累积分布函数≥ 因此，对于U v U（0，1），标准均匀分布，G-1（U）表示随机高度为U的到达事件的生存期。当U≤ b、 然后G-1（U）=∞, 这意味着它是永久的。对于U>B，事件将持续G-1（U）<∞, 这意味着这是一场比赛。备注4如果一条新消息在时间t到达，它会通过在列维基础上到达一个新点来影响价格。为了说明这里的具体性，假设它有单位影响。那么在t+s时，该单独事件的预期影响为d(-s） ，其中s≥ 因此，trawl函数直接描述了新闻到达的价格影响曲线。给价格影响函数贴上标签很诱人，但我们继续使用拖网术语。因此，单位新闻的永久影响是b。3.2价格变化的分布以下定理描述了价格变化在时间长度t上的分布。定理1让a\\B被设置为减法（a的所有元素，除了也在B中的元素）。然后- P=L（Ct）- L（C）=L（Ct\\C）- L（C\\Ct），其中L（Ct\\C）独立于L（C\\Ct）。因此，对数特征函数返回isC（θPt- P） =btC（θL）+leb（At\\A）（C（θL）+C(-θL）），其中c（θL），log EeiθL, 我，√-1，L=ZZL（dx，ds）。此外，如果词汇量的第j个累积量，则κj（Pt- P） =btκj（L），j=1，3，5。。。，κj（Pt- P） =（bt+2leb（At\\A））κj（L），j=2，4，6。。。。备注5注意，Ct是对0至t期间到达的正面和负面影响的物理解释；C\\t改为重新出发。

此外，等式leb（At\\A）=leb（A）- leb（在∩ A） =leb（A\\At）=Z-t（d（s）- b） ds（2）通常有助于计算。备注6 Pt的概率质量函数- 可以使用特征函数和快速傅立叶逆变换计算Pc。详情见附录B。备注7尽管我们的模型是为研究高频数据而写的，但它可以很容易地连接回那些通常用于研究低频数据的基于差异的模型。定理1进一步暗示，在较低的频率下，价格波动过程变成布朗运动。准确地说，如果κ（L）<∞ 和X（c）t，c-1/2（百分比- P- bctκ（L）），然后是X（c）·L→ W·as c→ ∞, 其中W·是维纳过程或标准布朗运动。允许Pt，Pt- Pt公司-是时间t时价格过程的瞬时跳跃（或回报）。瞬时跳跃分布指的是Pt=y对于y，Pt6=0∈ Z \\{0}。在下文中，我们给出了该分布的闭合形式表达式。定理2瞬时跳跃分布isP(Pt=y|Pt6=0）=ν（y）+ν(-y） （1）- b） （2）- b） kνk.（3）请注意，FLEETING组件中的拖网功能d对瞬时跳跃分布没有影响：重要的是b，它控制所有到达跳跃的潜在偏离量。此外，方程（3）的左侧可以很容易地从数据中估计出来，因此我们可以通过简单的矩匹配来估计ν和b。为了校准曲线，定理1意味着可以很容易地使用不同区域的样本累积量来推断EB的形状（A），从而推断d。我们将在后面的第4节中看到这些。3.3价格变化的自相关结构Theorem 3捕获了价格变化的线性依赖关系。定理3假设κ（L）<∞.

然后价格变化具有自相关结构，对于某些采样间隔δ>0且k=1，2。。。γk，CovP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k-1） δ\\A）κ（L），ρk，CorP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k-1） δA）bδ+2leb（AδA）。推论1ρk≤ 所有k=1，2，…，均为0。。。。当d严格增加时（即d（s）<d（s）对于所有s<s），该不等式变得严格≤ 0).注8：对于纯L'evy过程（b=1），leb（At \\a）=0表示所有t，因此很明显ρk=0表示所有k=1，2。。。，正如所料。另一方面，方程式（2）表示Limδ→0leb（Alδ\\A）δ=（1- b） l，limδ→∞leb（AlδA）=leb（A），l=1，2。。。，所以很容易看出，对于任何固定的k=1，2。。。，limδ→0ρk=limδ→∞ρk=0。因此，推论1表明ρkis不是采样间隔δ的单调函数。这与我们将在图7后面看到的经验数据相匹配。3.4功率变化二次变化在随机分析和现代金融中起着核心作用（例如Andersen、Bollerslev、Diebold和Labys（2001）以及Barndorff-Nielsen和Shephard（2002））。对于任何r≥ 0，我们将r次方L’evy基定义为∑（dx，ds；r），Z∞-∞|y | rN（dy，dx，ds），平均测量值u（dx，ds；r），dxdsZ∞-∞|y | rν（dy），假设r∞-∞|y | rν（dy）<∞. 定理4将∑与{P}[r]t=limδ相关→0吨/δXk=1Pkδ- P（k-1)δr=X0<s≤t型|Ps | r，第r次（非标准化）功率变化，由Barndor Off-Nielsenand Shephard（2004）在金融中正式确定。r=2的特殊情况产生二次变化。注意，在我们的模型中，我们可以计算{P}[r]t，只需使用价格路径。对所有人来说都是有限的≥ 0，概率为1。

这与计量经济学的绝大多数工作形成了鲜明对比，由于市场微观结构的影响，计量经济学的绝大多数工作都需要大量时间才能完成。定理4对于任意r≥ 0时，r次方变化为{P}[r]t=∑（Bt；r）+Z[r]t，Bt，[0，b]×（0，t]，Z[r]t，∑（Ht；r）+∑（Gt；r），Ht，[b，1]×（0，t），Gt，（Ht∪ A） \\在。此外，他们的期望是{P}[r]t= (2 - b） tZ公司∞-∞|y | rν（dy）。（4） 备注9（如第（3）、（4）条）没有拖网功能，因为每次到达都有一个离开。因此，它始终对d的细节保持稳健。此外，E{P}[r]t= E{P}[0]tZ∞-∞|y | rν（dy）kνk。请注意，{P}[0]t计算过程P到时间t的跳跃总数，因此我们称之为价格移动的计数过程。在第4节中，它还将对构建基于矩的模型参数估计起到重要作用。我们认为随机Z[r]t（概率为1）是{P}[r]t因价格波动引起的功率变化的组成部分- {L（Bt）}[r]t=Z[r]是功率变化的渐近随机偏差。高频计量经济学家通常会认为Z[2]tas等术语是由于市场微观结构效应导致的已实现方差偏差的驱动因素（例如Hansen和Lunde（2006）、Zhang（2006）、Jacod、Li、Mykland、Podolskij和Vetter（2009）、Mykland和Zhang（2012）以及Barndorff-Nielsen、Hansen、Lunde和Shephard（2008）），但在他们的研究中，它通常是有限的，而在这里和经验上，它是有限的，概率为1。我们回忆起定理1中的thatE（Pt- P） =btκ（L），Var（Pt- P） ={bt+2leb（At\\A）}κ（L）。计量经济学家对市场微观结构噪音使用了多种模型。通常，每次交易发生时都会出现噪音，例如在Zhou（1996）中，噪音是i.i.d.，平均值为零。因此，我们可以将这些类型的模型视为纯粹的统计测量误差模型。

在最近的时间里，i.i.d.假设已被泛化，以允许一定程度的时间依赖性和波动性聚集，但都是在滴答时间而非日历时间。所有这些噪声模型的功率变化是一致的。还有另一套文件将价格视为半鞅的四舍五入版本。这与我们的论文更接近，但与半鞅的波动性相比，价格波动的依赖程度完全取决于滴答声的大小。这对于数据来说不够灵活。另一组论文围绕具有加性测量噪声的半鞅展开，但这又有有限的幂变化，这与经验观测不一致。我们现在考虑的是时间间隔[0，T]内的收益，因此实现的方差isRV（n），nXk=1（Pkδn- P（k-1） δn），δn，Tn。命题2假设κ（L）<∞. ThenE公司RV（n）=b+2leb（Aδn\\A）δnTκ（L）+bTδnκ（L）。我们可以通过讨论两个极端n=1和n来确定命题2的上下文→ ∞ 对于大T。对于n=1，作为T→ ∞,ERV（1）=b+2leb（AT\\A）TTκ（L）+bTκ（L）≈ bTκ（L）+bTκ（L）=κ（L（bT））+（κ（L（bT）））=EL（BT）,其中第二行使用leb（AT\\A）≈ leb（A）。对于n→ ∞ 和固定T，limn→∞ERV（n）= (2 - b） Tκ（L）。因此，在该模型中，已实现方差和价格变化的波动性被波动分量严重扭曲。我们模型的方差特征图（RV（T/δ）与δ）将在（2- b） Tκ（L）（价格过程的预期二次变化）对于大n（密集抽样），并趋于向下接近bTκ（L）（假设κ（L）非常小，L'evy过程成分的预期二次变化）。

我们将在备注12中讨论这类图的一个微小变化，可以在我们后面的实证工作的图8中找到。3.5广义复合表示由于价格过程是一种有限的活动，因此可以将其写成广义复合过程，由价格变动的计数过程驱动。这里我们详细介绍一下。第一次回忆G（s）=1- d(-s） （带G(∞) = 1） 表示生命周期的累积分布函数≥ 0.L（A）由NA制成*初始存活事件，到达时间τA*< ... < τA*N*≤ 0并使用大小κA跳转*, ..., κA*N*. 每次到达都有一个生命周期G-1（UA*), ..., G-1（UA*不适用*), 其中τA*j+G-1（UA*j） >0和UA*ji。i、 d。~ U（b，1）。因此我们可以写出L（A）=PNA*j=1κA*jτA*j+G-1（UA*j） >0。当κA*j=1对于所有j，此表示与M/G有密切关系/∞ 队列（即markovarivals，具有固定的服务时间分布G，但服务器数量有限）。随着时间的推移，一些事件会消失，初始值会变薄*j=1κA*jτA*j+G-1（UA*j） >t新的是bornPNAtj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，其中NAtis是从时间0到时间t，身高大于b的出生人数。相应的τAj和κAj是这些事件的到达时间和移动的大小。因此，静态过程isL（At）=NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，t≥ 永久性变化的相应影响是一个复合泊松过程L（Bt）=PNBtj=1κBj，其中Nbt计算到时间t的永久性到达数量，τBj和κBj是相应的到达时间和跳跃大小。我们还将τkt写为从到达和离开的时间顺序中得出的跳跃时间；与κk类似。

然后，#{k：τk≤ t} 计算截至时间t的价格过程跳跃总数。所有这些都意味着pt=V+NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t+NBtXj=1κBj=P+NtXk=1κk.（5）方程（5）称为广义复合表示。它与金融计量经济学中使用复合泊松过程的大量文献有关，例如Press（1967）。然而，这里我们允许跳跃的一小部分发生变化，因此产生的计数过程不是简单的泊松过程。3.6参数化拖网功能使用数据拟合此类模型，有时通过少量参数对拖网功能进行索引是有帮助的。自始至终，我们在以下框架内工作。定义2 A叠加拖网功能hasd（s）=b+（1- b） Z∞eλsπ（dλ），s≤ 0，（6），其中π是（0，∞). 我们将叠加类约束到以下位置∞λ-1π（dλ）<∞. 无论概率测度π是什么，结果d总是存在的，因为0≤R∞eλsπ（dλ）≤R∞π（dλ）=1，作为s≤ 0、约束条件∞λ-1π（dλ）<∞ 需要确保该区域的Ais有限面积为EB（A）=Z-∞Zd（s）bdxds=Z-∞（d（s）- b） ds=（1）- b） Z-∞Z∞eλsπ（dλ）ds=（1- b） Z∞Z-∞eλsdsπ（dλ）=（1- b） Z∞λπ（dλ）。（7） 使用方程（1）叠加框架（6）hasleb（At∩ A） =（1）- b） Z∞e-tλλπ（dλ），t≥ 0，结合方程式（7），我们得到∞Cor（L（At），L（A））dt=R∞λ-2π（dλ）R∞λ-1π（dλ）。因此，当且仅当ifR时，叠加拖网具有长记忆∞λ-2π（dλ）=∞.在下文中，我们只关注特定π的选择。

Barndorff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014）对这些特殊情况进行了分析，因此这里我们仅对其进行说明，以建立我们应用工作的符号。例4当π在λ>0处有单个支撑原子时，这是指数拖网（s）=b+（1- b） exp（λs），s≤ 0，（8）leb（A）=1- bλ，leb（在∩ A） =1- bλe-λt。通常，它只允许短内存asR∞λ-2πd'λ= λ-2< ∞ 每当λ>0时。示例5当π（dλ）=b+（1- b） αHΓ（H）λH-1e级-λαdλ，α>0，H>1，我们生成叠加γ（sup-Γ）拖网（s）=b+（1- （b）1.-sα-H、 s≤ 0，（9）leb（A）=（1- b） αH- 1，leb（在∩ A） =（1）- b） αH- 1.1+tα1.-H、 t型≥ 0、当H∈ （1，2）且当H>2 asZ时内存不足∞λ-2π（dλ）=Γ（H- 2） Γ（H）<∞ 当且仅当H>2时。例6当π（dλ）=b+（1- b） （γ/δ）ν2Kν（γδ）λν-1e级-(γλ+δλ-1） /2dλ，γ，δ>0，ν∈ R、 我们产生了叠加广义逆高斯（sup GIG）拖网（s）=b+（1- （b）1.-2sγ-ν/2Kνγδp1- 2s/γKν（γδ），s≤ 0（10）leb（A）=（1- b） γδKν-1（γδ）Kν（γδ），leb（At∩ A） =（1）- b） γδ1+2t/γ(1-ν） /2Kν-1.γδp1+2t/γKν（γδ），t≥ 0，其中Kν（x）是第二类修正贝塞尔函数。它的内存总是很短∞λ-2π（dλ）=（γ/δ）ν2Kν（γδ）2Kν-2(γδ)(γ/δ)ν-2=γδKν-2（γδ）Kν（γδ）<∞ 对于所有γ，δ>0，ν∈ R、 然而，通过让γ=√2α，ν=H和δ→ 0、当γ→ 0，π（dλ）变为具有尺度参数δ/2和形状参数的反伽马分布-ν、 因此相应地，我们产生了叠加逆伽马（sup-Γ-1） 拖网。这是一个重要的情况，因为逆伽马密度的尾部有多项式衰减，因此将产生短暂但大量的内存，其模式与经验数据相同。我们将在第5节中清楚地看到这一点。4基于矩的推理这里我们讨论了基于匹配矩的推理技术，使用价格路径Pt，t∈ [0，T]。

由于（i）价格变化的平稳性Pδ-Pdv Pt+δ-ptt对于任何t、δ和（ii）数据的高频性质，基于矩的估计是合理的。推理基本上可以分为两部分：L'evy测度ν的推理和对b和d的推理。4.1 L'evy测度的推理由于数据的高频特性，样本的瞬时跳跃分布接近真实值。类似地，任何r的样本功率变化{P}[r]t≥ 0，当作为时间t的线性函数处理时，其斜率也接近于真值。然后，我们可以使用这些事实，根据b来估计L'evy测度ν。让我们将样本瞬时跳跃分布写为^αy，其中py∈Z \\{0}αy=1；此外，通过^βr，{P}[r]TT=TX0<t估计第r个样本功率变化相对于t的斜率≤T型|Pt | r。然后通过将力矩与方程（3）和（4）匹配，我们应该得到（2- b） Xy型∈Z\\{0}| y | rν（y）=βr，r≥ 0，（11）ν（y）+ν(-y） （1）- b） =（2）- b） αykνk，y∈ Z \\{0}。（12） 在r=0的情况下使用（11），我们得到kνk=Py∈Z \\{0}ν（y）=β/（2）- b） 因此ν（y）+ν(-y） （1）- b） =αyβ，ν(-y） +ν（y）（1- b） =^α-y^β，y∈ N、 求解这两个方程得到[ν（y），^αy- (1 - b） ^α-y（2- b） b^β，y∈ Z \\{0}。（13） 备注10这并不保证[ν（y）≥ 0，因此根据经验，我们将用0截断负[ν（y）]，同时调整相应的值(-y） 使[ν（y）+\\ν(-y） =^αy- (1 - b） ^α-y+^α-y- (1 - b） ^αy（2- b） b^β=^αy+^α-y（2- b） ^β保持不变。

这种修改的优点是可以保存估计的L'evy测度^ν：Xy的所有（非负）矩∈Z \\{0}| y | r[ν（y）=∞Xy=1 | y | r[ν（y）+\\ν(-y）.然而，它的代价是对Pt的所有奇数累积量的估计- 但实际上这是可以忽略的，因为只需要对较大的y进行截断，并且相应的强度ν（y）通常很小。为了完全避免负面估计，可以将L'evy度量参数化为InBarndorff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014），但这里我们更倾向于使用非参数估计。备注11我们应该注意，（13）包含了我们可以从方程（11）和（12）中获得的所有信息，因此我们不能依赖方程（11）和（12）同时求解b和L'evy测度ν。详情见附录A。4.2永久性和拖网函数的推断我们需要使用额外的力矩方程来估计拖网函数d和b。最简单的方法是通过定理1。特别是，我们将使用Pkδ- P（k-1)δT/δk=1估计Var（Pδ- P） =（bδ+2leb（AδA））κ（L）=（bδ+2leb（AδA））Xy∈Z \\{0}yν（y）。用采样间隔δascσδ表示样本方差。然后到（13）和匹配时刻，我们应该有cσδ=bδ+2leb（Aδ\\A）2- bXy型∈Z \\{0}y^αy^β。（14） 附录D显示了如何使用Cσδ非参数估计拖网函数D，但这里我们仅演示参数化拖网的推断。现在假设拖网函数d由φ参数化，例如，指数拖网（8）中的φ=λ，辅助拖网（9）中的φ=（α，H），辅助拖网（10）中的φ=（γ，δ，ν）。同时估计b和φ的一种简单方法是通过非线性最小二乘拟合方程（14）除以不同δ的δ。