规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法

在优化的一般设置下，我们将期望效用函数作为收益和方差的函数。E=u-Aλ，其中A是风险增加，投资者愿意承受每单位回报的增加。它是一种相对的风险规避措施。我们假设期望效用函数为0，而pro c需要进行优化。因此，A是针对每个证券的相对风险规避矩阵uiσi=诊断（A）i=1，对于个人证券而言，这是Shar-pe比率的函数。正则化协方差矩阵用于实现二次优化器子程序，以确定最优投资组合的权重。因此，我们可以计算组合中s选择的股票数量的组合风险。一旦使用权重计算出投资组合风险，下一步就是评估风险来源及其相互关系。可能有许多不同的风险来源，如个别股票、部门、资产类别、行业、货币或风格因素。在此之前，我们将风险源的概念保留为通用概念。我们考虑一个投资期，其中rj表示同一时期来源j的回报，其中j=1，2，p、 在此期间的预期投资组合回报isRp=pXj=1ωjrj，其中ωjis是投资组合对来源j的敞口，即投资组合权重，因此ωj≥ 0和ppj=1ωj=1，见Ruppert（2004）[9]。投资组合波动率定义为sσp=√ωT∑ω，其中ωT={ω，ω，…，ωp}。投资组合管理在投资期开始时确定ωjat的大小，通常使用Markowitz型优化。显然，权重（ωj）作为投资组合总波动率的调节器以及投资组合的协方差结构起着重要作用。我们已经处理了调整投资组合协方差结构的问题。

然而，对于经理来说，量化投资组合波动性对ω的微小变化的敏感程度也很重要。这可以通过区分权重的波动性来实现，即：。，（σp）ω=σp∑。ω = ,哪里 = {, , ..., p} ，被称为“总风险的边际贡献”（MCTR），见Mencheroetal。（2011）[10]和Baigent（2014）[11]。注意，源i的MCTR由以下表达式给出i=σppXj=1σijωj。CCTR是来源对总投资组合波动率的贡献量。换句话说，如果ζj=ωj。jis源j的C CT R，然后σp=pXj=1ζj=pXj=1ωj。j、 因此，总波动率可视为MCTR的加权平均值。现在，为了估计MCTR和CCTR，需要正则化的f∑估计，因为组合权重ω是由管理者预先确定的。然而，出于所有实际目的，经理对估算P更感兴趣(j<0）或P（ζj<0）。原因是，j<0或ζj<0意味着源j降低了总风险。在第二节中，我们提出了∑followsW的后验分布-1（n+n-1，S+ψ）。此外，为了估算P(j> 0）我们提出了一种基于独立复制的蒙特卡罗（MC）方法，如下所示：o步骤1：对于迭代i，从W-1（n+n- 1，S+ψ）o步骤2：计算σ（i）p=√ωT∑（i）ωo步骤3：计算（i） =σ（i）p.∑（i）。ωo步骤4：计算ζ（i）j=（i） jωjj对于所有j=1，2。。。，p、 o步骤5：设置i=i+1并转至步骤1。注意，这些是独立的复制，即迭代i的所有步骤，不依赖于前一个步骤（i-1). 如果有两个并行处理器可用，则迭代i和（i-1） 可以同时并行实现。事实上，人们可以认为该算法是一种“令人尴尬的并行”算法（见Matloff（2011）[12]）。

如果p很小，例如，如果我们将四个或五个不同的资产类别视为风险源，则可能不需要并行实施算法。但如果p非常大，就像nymutua l基金投资组合一样，股票数量可能会超过数千只。对于较大的p，生成∑（i）将很慢，因此，所有其他步骤中的后续计算也将很慢。在这种情况下，需要对算法进行并行化，以提高算法的时间复杂度。一旦生成样本，就可以很容易地估计所需的MC统计信息，如EP（ζj>0）=NNXi=1I（ζ（i）j>0），（15），其中N是模拟s iz e，如果A为真，i（A）=1，如果A为假，i（A）=0。4实证研究在本节中，我们用两组不同的实证数据说明了该方法。每种方法都将干扰程序暴露在不同的实际情况下。第一个数据集显示了Algoritm在一个小数据集上的表现，该数据集由5个资产类别和每个资产类别3个月的月度回报组成。第二个数据集显示了该算法在一个大型数据集上的性能，该数据集包括10年内p=450到p=990个股票的dailylog回报。4.1“指数”数据集首先，我们考虑五个资产类别的组合，即v iz。（i） 混合债券、（ii）新兴市场、（iii）商品、（iv）债券和（v）股票，摘自R-package“ghyp”（[16]）。投资时间表包括两个研究时段。第一个时间段包括三个月的月度回报数据（2008年5月、6月和7月），第二个时间段（2008年8月、9月和10月）。由于第二阶段的第二个月是2008年9月，当时发生了“雷曼兄弟破产”等事件，因此这一时期的总波动率非常高。

然而，对于投资组合经理来说，从最高到最低，识别不同的风险贡献来源是很重要的。我们在其他期间考虑相同的投资组合权重（见表1），以进行公平比较。其中n=3，p=5，这意味着正则样本协方差矩阵估值器不稳定，因为它为这两个周期提供了非唯一解。我们使用第2节中讨论的Bayesian方法。在n=3.5之前，我们选择Wishart的自由度，如（p-n） =2，我们通过c=1.5的cho ice保持平衡优先级信息，并选择ψ=λ′Ip，Ip是p阶的恒等式，如等式（1）、（2）和（3）所述。我们认为红色模拟大小为N=10000。我们在表3中给出了总波动率的后验估计值，在图1中给出了后验密度图。月度总投资组合波动率由后验均值估计，在第一至第二个期间，从5.18%上升至15.21%。如图1所示，在2a期间，投资组合密度变得更加正向倾斜。我们给出了五种资产类别的CCTR（ζ）的后验密度，即。（i） 图2、3、4和5中三组权重的混合债券、（ii）新兴市场、（iii）商品、（iv）债券和（iv）股票。很明显，我们可以从这些数据中看出，四种资产类别（即混合债券、新兴市场、商品和股票）的CCTR后验密度已经右移，并且在第二阶段变得更加积极。这意味着，这四种资产类别在第二个期间对总波动性风险作出了重大贡献。所有五类资产的后验估计见表4、5和6。除“债券”外，对于其他四种资产类别，在第二个时期内，标准偏差中每单位CCTR增量的后验平均值显著上升。

因此，我们可以得出结论，这四种资产类别在统计上对投资组合的总波动风险贡献很大。这里需要注意的一点是，特别报告指出，在这四种资产类别中，“债券”的后验平均CCTR与“新兴市场”、“商品”和“股票”的CCTR相比是最小的。对于其他两个权重，即BLW（Ledoit Wolf with BayesianWeights）和DHD（第（3）节中的拟定权重），最低成本平均CCTR分别由“新兴市场”和“商品”表示。这可以通过注意到这两种方法主要通过相应地优化权重来降低por tfolio的波动性（1）来解释。资金的配置主要针对“债券”。这导致了一个相对优越的投资组合，在“危机”期间，建议权重结构（DHD）占主导地位（7），显示出较低的投资组合波动风险，最大回报，因此与其他投资组合相比，夏普比率更高。然而，“债券”是唯一一个后验密度没有向右移动的资产类别，如图5所示。相反，在提议的权重结构下，它变得更加集中在零附近。没有一种“混合债券”在第二阶段表现出最大的正偏离，这大大增加了投资组合风险。此外，我们可以从表6中看到，与其他资产类别相比，债券的贝叶斯95%置信区间显示出一个可观的负向利差。最后，使用方程式（15）中给出的公式，我们计算了两个时期的正CCTR概率，结果如表2所示。除债券外，所有资产类别的CCTR为正的概率在第2期间上升。在同一时期，债券的正CCTR概率降低。

这向我们表明，在第二阶段（现在通常称为“危机”时期），债券是唯一一种波动性风险表现出下降行为的资产类别。这一分析清楚地符合对债券市场的直观理解。这种分析的优点是，它可以提供对贝叶斯概率的直观理解。4.2印度国家证券交易所数据在此，我们考虑一个市场投资组合，包括从NSEI（印度国家股票交易所）市场获得的股票。投资期每半年确定一次。第1阶段包括2005-201年（1月至6月）和第2阶段（7月至12月）。各年份的数据可从以下网站下载：https://www.quandl.com/data/NSE?keyword=。所选10年期间的证券数量从p=455到p=991不等。我们考虑了每种可用证券的每日日志回报，为我们提供了n=125天的数据，这是两个时期p证券的平均数据。使用第2节中列出的常规化程序，使用数据的二次优化技术获得投资组合权重。我们将Ledoit和Wolf（2004a）这两种广义方法与第3节中提出的方法进行比较，使用∑作为正则化矩阵。对样本协方差矩阵的正则化∑（13）进行了另一比较。使用以下比较基础对两种方法下获得的投资组合进行比较：（i）半年投资组合回报，（ii）半年投资组合风险，（iii）夏普比率和（iv）投资组合规模。我们使用贝叶斯权重对协方差矩阵进行正则化。Wishart prior具有相应年份的asn=p自由度。

收缩目标或prio rψ=λ′I，其中λ′=（s，s，…，spp），如第3节∑（14）所定义。模拟大小为N=10000。图中所示为（？、？？、？？）根据最新的ris k衡量方法，即“VaR”（风险价值）和“ESF”（预期短缺），对这两种方法进行比较总结。我们展示了样本外的业绩，包括多年来投资组合的预期回报和波动性。表（10）提供了根据拟定权重构建的投资组合的样本外绩效总结。就样本外绩效而言，2007年9月这一时期显示出拟议方法的明显优势，而在其他样本外半年期，其平均优势超过了Ledoit和Wolf方法。我们将表（11）中的2013年7月至12月这一时期视为投资期，以说明仅基于股权构建的投资组合的推断程序。与“指数”数据集的引用过程相同，唯一的区别在于市场组合的规模要大得多，这使得问题相当“不适定”。向Starget收缩对p更敏感→ ∞, 而n保持不变，意味着pn→ ∞.请注意，从表（10）中可以看出，根据拟定权重构建的投资组合的规模利用了10%的市场。我们现在开始研究这两个投资组合的共同股票。对于具有较高CCTR的股票，即使用Ledoit和Wolf加权构建的投资组合中包含的P【ζ>0】，在使用表（11）所示拟议权重构建的投资组合中呈现出更高的P【ζ>0】，这提供了两个投资组合之间的主要差异点，除了投资组合规模的显著差异。

表（8、9）列出了两个时期内6只股票的CCTR的后验汇总统计数据。第一期（2013年7月至12月）的X20百万欧元和ABBOTINDIA股票的CCTR为负值，有助于降低同期的por tfolio波动风险。与第二阶段相比，我们发现ABBOTINDIA呈现出正的CCTR，表明p[ζ>0]增加，这意味着投资组合波动性风险增加。X20MICRO NS保留了阴性CCTR，并在后均值附近显示出更多的浓度。在第二个时期（2014年1月至6月），ABGSHIP的CCTR为负值，与第一个时期相比，CCTR有明显下降。与第一期相比，ASTRAL和BAJAJHLDNG股票的CCT R下降，其分布更集中于前一期的平均值。然而，股票Bhushantl在这两个时期内没有发生重大变化。最后，使用渐近权重，而不是如∑所示具有相同收缩目标的Ledoit Wo lf方法的贝叶斯权重，我们可以计算ρ的值，为我们提供了与拟议投资组合权重相比的可比但较差的结果。拟议权重还提供了规模较小的投资组合，从而降低了投资者的交易成本。5结论在这篇论文中，我们讨论了贝叶斯方法来正则化“不适定”协方差估计问题，建立了贝叶斯技术与现有非参数技术的等价性。该方法还通过估计任何特定证券的CCTR为正的概率来分析风险来源。由于CCTR总计为总波动率，它提供了每个来源对总波动率的贡献。

常规方法仅估计一个来源的CCTR，但并不估计CTR显著大于（或小于）零的概率。本文讨论了这样做的方法。现有的和相对较新的风险度量，如ESF和VaR，用于分析拟议投资组合权重相对于传统方法的表现。我们提出了一种并行化且易于实现的蒙特卡罗方法，以对证券对总风险的个别贡献进行推断。我们进一步提出了两项实证研究，第一项研究表明，在2008年危机期间，由于股票和混合债券的贡献显著增加，由五个资产类别组成的投资组合经历了巨大的波动风险。同期，“债券”是对投资组合风险敞口平均贡献最小的资产类别。

其次，在相对较高维度下，在计算效率较高的贝叶斯分析（Bayesiananalysis）下，正则化技术的性能，以产生投资组合的有效构造及其风险敞口的推断。6附录结果1的证明：tr（∑）-[tr（∑）]p=pXi=1pXj=1σij-phpXi=1σiii=phpXi=1σii+pXXi6=jσij-npXi=1σii+pXXi6=jσiiσjjoi=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=j（pσij- σiiσjj）i=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=jσiiσjj（pρij- 1） i.因此，α=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=jσiiσjj（pρij- 1） i.结果2的证明：注意，对于协方差矩阵，以下结果为真，S，E[tr（S）]=tr[E（S）]=trhVar（S）+[E（S）]i=trh（n- 1） （（σij+σiiσjj））i=1。。。p、 j=1。。。p+（n- 1） ∑i=（n- 1） hpXi=1σii+（n- 1） tr（∑）i.利用上述结果，我们得到，β=Eh序号- 1.- Σi=pEhtrn序号- 1.- Σ序号- 1.- Σ′oi=pEhtrS（n- 1)- 2tr序号- 1Σ+ tr公司Σ氧指数。现在使用E[tr（.）]=tr[E（.）]，S~ W（n-1, Σ) => E[S]=（n-1） ∑，以及上述结果，我们有β=ptrhES（n- 1)- 2E类序号- 1Σ+ EΣoi=ph（n- 1） {2Ppi=1σii+（n- 1） tr（∑）}（n- 1)-n- 1（n- 1） tr（∑）+tr（∑）i=n- 1hppXi=1σiii.结果证明3：δ=Eh序号- 1.- uIi=pEhtrn序号- 1.- uI序号- 1.- uI′oi=pEhtrS（n- 1)-2un- 1tr（S）+utrIi=ptrhES（n- 1)-2un- 1（n- 1） ∑+pui=ph（n- 1） {2Ppi=1σii+（n- 1） tr（∑）}（n- 1)- 2[tr（∑）]p+[tr（∑）]pi=n- 1hppXi=1σiii+pntr（∑）-[tr（∑）]po=α+β。结果5的证明：ρ=argminρ≥0E[L（ρ）]=argminρ≥0Σ- Σ= argminρ≥0ρλ′Ip+（1- ρ） 序号- 1.- Σ= argminρ≥0ρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号- 1.- Σ.现在考虑L（ρ）=ρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号-1.- Σ我们有，E[L（ρ）]=pEhtrnρDiagi{s，s，…，spp}+（1- ρ） 序号- 1.- ΣρDiagi{s，s。