FPLS 函数型数据分析

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关键词：函数型数据 数据分析 PLS

函数型数据分析（Functional Data Analysis, FDA）是一种数据分析方法，其中每个观测对象都可以看作是一个函数。与传统的多元数据分析不同，函数型数据分析允许对无限维的数据进行分析。在函数型数据分析中，偏最小二乘（Functional Partial Least Squares, FPLS）是一种常用的回归方法，用于预测响应变量与一个或多个函数型预测变量之间的关系。
py语言中，可以使用包来执行偏最小二乘回归，但这些包主要是为多元数据设计的，而不是函数型数据。对于函数型数据的FPLS，可能需要使用其他专门设计的包或自定义函数。 你可能需要自己实现FPLS算法，或者寻找相关的研究论文和代码示例。
下面是一个简化的概念性示例，说明如何可能实现FPLS的基本步骤。请注意，这只是一个框架，并不是一个完整的实现。
数据准备：将函数型数据表示为一系列离散点或基函数的系数。
计算协方差函数：计算函数型预测变量之间的协方差函数以及预测变量与响应变量之间的协方差函数。
求解偏最小二乘路径：通过迭代求解偏最小二乘路径，找到能最大化预测变量与响应变量之间协方差的成分。
构建回归模型：使用所选的成分来构建回归模型。
预测：使用构建的模型对新的函数型数据进行预测。
一个简化的框架
import numpy as np  
from scipy.linalg import svd  
  
def fpls(X, Y, n_components):  
    """  
    简化的函数型偏最小二乘法（FPLS）实现框架。  
      
    参数：  
    X: numpy.ndarray, shape (n_samples, n_features)  
        函数型预测变量的离散表示（例如，基函数系数）。  
    Y: numpy.ndarray, shape (n_samples,) or (n_samples, 1)  
        响应变量。  
    n_components: int  
        要使用的成分数（潜在变量数）。  
         
    返回：  
    beta: numpy.ndarray, shape (n_features, 1)  
        回归系数。  
    """  
    # 确保Y是二维数组  
    if Y.ndim == 1:  
        Y = Y.reshape(-1, 1)  
      
    # 初始化  
    n_samples, n_features = X.shape  
    X_scores = np.zeros((n_samples, n_components))  
    Y_scores = np.zeros((n_samples, n_components))  
    X_loadings = np.zeros((n_features, n_components))  
    Y_loadings = np.zeros((1, n_components))  
      
    # FPLS算法  
    for k in range(n_components):  
        # 计算当前残差  
        X_residual = X - np.dot(X_scores[:, :k], X_loadings[:, :k].T)  
        Y_residual = Y - np.dot(X_scores[:, :k], np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(X_loadings[:, :k].T, X_scores[:, :k])), np.dot(X_loadings[:, :k].T, Y)))  
         
        # 计算新的成分  
        w, _, _ = svd(np.dot(X_residual.T, Y_residual), full_matrices=False)  
        w = w[:, 0]  
        t = np.dot(X_residual, w)  
         
        # 标准化  
        t_norm = np.linalg.norm(t)  
        t /= t_norm  
        p = np.dot(X_residual.T, t) / t_norm  
        q = np.dot(Y_residual.T, t) / t_norm  
         
        # 更新得分和载荷  
        X_scores[:, k] = t.ravel()  
        Y_scores[:, k] = np.dot(Y_residual, q).ravel()  
        X_loadings[:, k] = p.ravel()  
        Y_loadings[:, k] = q.ravel()  
         
        # 检查收敛性（这里省略）  
         
    # 计算回归系数  
    B = np.dot(np.dot(X_loadings.T, np.linalg.pinv(np.dot(X_scores.T, X_scores))), X_scores.T)  
    beta = np.dot(B, Y)  
      
    return beta.ravel()  
  
# 示例数据（这里使用随机数据，实际应用中应使用真实的函数型数据）  
n_samples = 100  
n_features = 20  
X = np.random.randn(n_samples, n_features)  
Y = np.random.randn(n_samples, 1)  
  
# 调用FPLS函数  
beta = fpls(X, Y, n_components=3)  
print("回归系数:", beta)