求助高微题目

Suppose that two agents are deciding how fast to drive their cars.
Agent i chooses speed xi and gets utility ui(xi) from this choice; we assume
that ui(xi) > 0. However, the faster the agents drive, the more likely it is
that they are involved in a mutual accident. Let p(xl, x2) be the probability
of an accident, assumed to be increasing in each argument, and let ci > 0
be the cost that the accident imposes on agent i. Assume that each agent's
utility is linear in money.

这是范里安高微的24.1
(a) Show that each agent has an incentive to drive too fast from thesocial point of view.第一问，问题在于
答案有一句
Since agent 1 ignores the cost he imposes on agent 2, he will generallychoose too large a value of XI.

没有数学说明，请问如证明其有动机超速，在例子24.1时候，那个就说了是convex的，这个没有条件啊

怎么看不到这个了

怎么看不到这个了

诉求解答啊

英语太烂，看不懂

i can not understand.

个体i=1的效用为u1(x1),成本为p(x1,x2)*c1;其纯效用为
π1=max u1(x1)-p(x1,x2)*c1;


社会纯效用为π=max u1(x1)+u2(x2)-p(x1,x2)*c1-p(x1,x2)*c2；两式分别对x1求导，
显然式（1）大于式（2），即个体1只要考虑自身的私人成本而不考虑社会成本，所以有动机超速。

如楼主所说，有convex条件的话比较方便。
请注意最后一句话“Assume that each agent's utility is linear in money”, linear function既是convex 又是concave。

不过为了探讨问题，我们还是假设一个一般的效用函数。

第i个人最大化的问题是：
max_{xi} Ui(xi - ci) p(xi, xj) + Ui(xi) [1 - p(xi, xj)]

一阶条件FOC:
Ui'(xi - ci) p(xi, xj) + Ui(xi - ci) pi'(xi, xj) + Ui'(xi) [1 -  p(xi, xj)] - Ui(xi) pi'(xi, xj) = 0

整理一下
(i0)  Ui'(xi - ci) p(xi, xj) + Ui'(xi) [1 -  p(xi, xj)]  = [Ui(xi) - Ui(xi - ci)] pi'(xi, xj)
另一个人j的解就满足：
(j0)  Uj'(xj - cj) p(xi, xj) + Uj'(xj) [1 -  p(xi, xj)] = [Uj(xj) - Uj(xj - cj)] pj'(xi, xj)
左边都是边际个人收益，右边都是边际个人成本。

社会总效用最大化问题是
max_{xi, xj} [Ui(xi - ci)+Uj(xj - cj)] p(xi, xj) + [Ui(xi)+Uj(xj)] [1 -  p(xi, xj)]
由FOC得到：
(i1)  Ui'(xi - ci) p(xi, xj) + Ui'(xi) [1 -  p(xi, xj)]  =  [Ui(xi) - Ui(xi - ci) + Uj(xj) - Uj(xj - cj)] pi'(xi, xj)
(j1)  Uj'(xj - cj) p(xi, xj) + Uj'(xj) [1 -  p(xi, xj)]  =  [Ui(xi) - Ui(xi - ci) + Uj(xj) - Uj(xj - cj)] pj'(xi, xj)
左边是边际个人收益，右边是边际社会成本。

可以看到 (i0) 和 (i1) 的左边是完全一样的，但是只要pi'(xi, xj)>0, 右边就是 (i1)的比(i0)要大。所以如果把右边的表达式对xi画图的话，(i1)右总是比(i0)右要高，另外因为是成本曲线，我们需要它们向上。
然后把左边(两个都一样所以不区分了)也对xi画图，如果convex的话，那会向下倾斜，至少也是与xi轴平行(linear的情况)，这样与(i1)右的交点一定在与(i0)右交点的左边，也就是(i0)的解比(i1)的大，即个人最优值比社会最优值大。

但其实即便左边也是向上倾斜的，也有可能导致所要的结果，比如左边曲线的倾斜程度比右面的两条线小，楼主可以自己画一下图看看。