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楼主: 笙箫作别
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[合作博弈] 关于海盗分金币的三个问题(答案已添加)   [推广有奖]

第一题:1,1,0,0,1,0,2,1,0,994
第二题:96
第三题:没有一个海贼被投入到海里,假如第一个海贼被投入到海里,第二个海贼就会一定被投入到海里,因此不管第一个海贼怎么分配,第二个海贼都一定举双手通过方案,因此第一个海贼只需拿出9个金币分别分给9个海贼,9+自己+第二个海贼=11>9,最后自己还能的得到一个金币!

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笙箫作别 在职认证  发表于 2012-5-2 10:05:59 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
问题一答案:

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我们先要对海盗们作一些假设。

1)每个海盗的凶猛性都不同,而且所有海盗都知道别人的凶猛性,也就是说,每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外,每个海盗的数学和逻辑都很好,而且很理智。最后,海盗间私底下的交易是不存在的,因为海盗除了自己谁都不相信。

2)一枚金币是不能被分割的,不可以你半枚我半枚。

3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼,这是最重要的。

4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。

5)每个海盗都是现实主义者,如果在一个方案中他得到了1枚金币,而下一个方案中,他有两种可能,一种得到许多金币,一种得不到金币,他会同意目前这个方案,而不会有侥幸心理。总而言之,他们相信二鸟在林,不如一鸟在手。

6)最后,每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下,他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。

现在,如果有10个海盗要分100枚金币,将会怎样?

要解决这类问题,我们总是从最后的情形向后推,这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识,我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定,等等等等。要是直接就从开始入手解决问题,我们就很容易被这样的问题挡住去路:"要是我作这样的决定,下面一个海盗会怎么做?"

以这个思路,先考虑只有2个海盗的情况(所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了)。记他们为P1和P2,其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是:他自己得100枚金币,P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。

往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道--P3知道他知道--如果P3的方案被否决了,游戏就会只由P1和P2来继续,而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道,只要给P1一点点甜头,P1就会同意他

的方案(当然,如果不给P1一点甜头,反正什么也得不到,P1宁可投票让P3去喂鱼)。所以P3的最佳方案是:P1得1枚,P2什么也得不到,P3得99枚。

P4的情况差不多。他只要得两票就可以了,给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案,因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴,于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币,自己留下98枚。

依此类推,P10的最佳方案是:他自己得96枚,给每一个在P9方案中什么也得不到的P2,P4,P6和P8一枚金币。

下面是以上推理的一个表(Y表示同意,N表示反对):



P1 P2

0 100

N Y



P1 P2 P3

1 0 99

Y N Y



P1 P2 P3 P4

0 1 0 99

N Y N Y



P1 P2 P3 P4 P5

1 0 1 0 98

Y N Y N Y



……



P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

0 1 0 1 0 1 0 1 0 96

N Y N Y N Y N Y N Y

仁者,人也,亲亲为大。义者,宜也,尊贤为大。亲亲之杀,尊贤之等,礼所生也。

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笙箫作别 在职认证  发表于 2012-5-2 10:07:41 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
问题二答案:

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为了方便叙述,我们换一种方式,即从编号为最后的一个海盗开始分,结论毫无疑问是一样的,只是这样好说一点。

先从有201海盗开始说,这时201号海盗要分的话一定会分给剩下的奇数号海盗一人一个,为什么呢,因为他知道等到200号来分的话,他会分给所有偶数号海盗一人一个。所以如果201号海盗仍然还是分给编号是2n(n=1,2,...100)的话,200号海盗凭什么要答应?他完全可以反对,然后自己再来分,这对他来说完全没有半点利益上的损失。好了,只要201号海盗分给2n-1(n=1,2,...100)这些海盗一人一个,他的建议必然会获得后面的通过,于是,他便有恃无恐,他对前面所有海盗的建议全都会反对,除非有人分给他。

好,再说有202个海盗的时候,202号海盗就一定要将金币分给2n(n=1,2,...100)与201中的任意100个海盗,因为201号海盗会全分给2n-1(n=1,2,...100)他们,所以202号只有将金币分给这些海盗才能获得这100个人的同意。“哈哈”202号想到这里的时候大笑:“我也有恃无恐了,前面不论谁的建议我全都反对,除非有人分给我,反正我的建议一定会被通过的。”

再看203号,他是无论怎么分都最多有100个人同意,达不到半数,所以没办法,他只好无条件同意204号的。

204号只有将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201,202中的任意100人,才能得到这100个人的同意,加上他自己和必然会同意他的203号,正好有102个人,达到半数,于是他的意见将被通过。于是203和204也变得有恃无恐起来,对于前面所有人的建议他们也会全部反对,除非有人分给他。

好了,其他的就可以推了:

从205-207都必须无条件同意208的建议,而208只有将金币分给2n(n=1,2,...100)与201、202、203、204中的任意100人,才能获得恰好104个人的同意。

从209-215都必须同意216的,而216又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-208中任意100人,才能确保有108人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见,除非有人分给他门。

从217-231必须同意232号的,232必须将金币分给2n(n=1,2,...100)与201-216中的任意100人,才能确保有116人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见,除非有人分给他门。

从233-263必须同意264的,264又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-232中的任意100人才能确保有132人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见,除非有人分给他门。

从265-327必须同意328的,328必须将金币分给2n(n=1,2,...100)与201-264中的任意100人才能确保有164人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见,除非有人分给他门。

从329-455必须同意456的,456又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-328中的任意100人才能确保有228人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见,除非有人分给他门。

而最后的44个海盗无论怎么分,都无法获得250个海盗的同意,所以他们将被扔掉。


仁者,人也,亲亲为大。义者,宜也,尊贤为大。亲亲之杀,尊贤之等,礼所生也。

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笙箫作别 在职认证  发表于 2012-5-2 10:08:28 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
问题三答案:

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首先指出一个:当有2个时,2号无论怎么分1号都不会同意,因此2号必须同意3号的分法,所以当有1、2、3三个海盗时,3号海盗可以独吞全部!

然后是4号海盗,他要想得到多数必须有3人同意才行,又因为3号不可能同意(他即可以独吞,又可让4好死),所以4号只要给1、2号一点甜头就行了。结果是1、1、0、8。

以此类推:

5号:0、2、1、0、7或2、0、1、0、7

6号:1、1、0、1、0、7(因为2和1都有可能在5的时候没有分到,所以得1个是即得利益。)

7号:0、0、1、2、1、0、6或0、2、1、0、1、0、6或2、0、1、0、1、0、6

8号:1、1、0、1、0、1、0、6

9号:x、x、1、x、1、x、1、x、5(然后分给任意某个x成员2个)

10号:1、1、0、1、0、1、0、1、0、5

……

18号:1、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1

19号:x、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、0(然后分给任意x成员2个)

20号的分法是关键!

20号:x、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、x、0(然后给任意10个x成员每人分1个)

因为总共有11个x成员,所以他们无法知道20号究竟会给谁,因此,当21号分得时候,他们这11个成员当中只要有人被分到,那么他一定会同意(因为他并不确定20号是否会分给他),而剩下的9个成员只要被分到也一定会同意(因为20号来分的话他们将一无所有),于是产生了奇妙的现象,21号只要将10个金子平均分给任意10个人,都将被通过!


仁者,人也,亲亲为大。义者,宜也,尊贤为大。亲亲之杀,尊贤之等,礼所生也。

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sql2002 发表于 2012-5-3 14:13:40 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
坎坎坷坷坎坎坷坷
https://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthread&tid=2341078&page=1&extra=#pid18046472

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qinenxie 发表于 2012-5-4 22:29:20 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
0,0,1,1,1,0,2,1,0,995

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qinenxie 发表于 2012-5-4 22:36:55 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
初学者表示头疼

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鲁晓业 发表于 2012-5-9 19:07:05 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
初学者选择选学习后发表。

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Amy1990 发表于 2012-5-9 19:57:11 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
学习了

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