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4.2.2 数列中证实及存在性问题
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等差(比)数列判断与证实
例1已知数列{an}满足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求证:数列{an+n}为等比数列;(2)求数列{an}前n项和Sn.
所以数列{an+n}是首项为2,公比为2等比数列.(2)解 由(1)得,an+n=2×2n-1=2n,所以an=2n-n.
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解题心得1.判断和证实数列是等差(比)数列三种方法.(1)定义法:对于n≥1任意自然数,验证an+1-an 为同一常数.(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;若 =an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.2.对已知数列an与Sn关系,证实{an}为等差或等比数列问题,解题思绪是:由an与Sn关系递推出n+1时关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证实.
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