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3-6 二维调和函数与平面场 保角变换法
(一) 二维调和函数 用u(x,y)表示两个实变量 x 和 y 二元函数。方程
称为二维拉普拉斯方程(参看§5-3)。含有连续二阶导数并满足二维拉普拉斯方程函数称为二维调和函数。
关于复变函数与二维调和函数关系有一条主要定理：定理一 设复变函数
(3-6-1a)
在复平面区域D内解析，则它实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是(x,y)平面区域D内调和函数。
证：按假设，w=f(z)在D内解析，因而在D内可求导，而且满足柯西–黎曼条件(1-3-4)，即
(3-6-2)
将第一式对x求导，第二式对y求导，得
再利用
就得到
这就证实了u=u(x,y)是调和函数。同理，将(1-3-17)第一式对y求导，第二式对x求导，能够证实
(3-6-1b)
即 v = v (x,y) 也是调和函数。 【证毕】
我们证实了，在区间D内解析复变函数实部和虚部都是该区间内二维调和函数。这两个二维调和函数之间相关系(3-6-2)。通常称它们是相互共轭调和函数。
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