9.11 傅里叶变换家族介绍

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文章目录

傅里叶变换家族 *The FT Family*

傅里叶变换 *FT*

Sinc插值

离散时域傅里叶变换 *DTFT*

离散傅里叶变换

Dirichlet插值

傅里叶变换家族

The FT Family 为何傅里叶变换需要单独编撰一本教材？细读傅里叶变换家族即可明了。

傅里叶变换

FT 频率信号的变量为频率 F，频域信号表达为： \( X_a(F) = \int_{-\infty}^{\infty} x_a(t) e^{-j2\pi Ft} \mathrm{d} t \)

时间连续信号的变量即为时间: \( x_a(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X_F(t) e^{j2\pi Ft} \mathrm{d} F \)

傅里叶变换即实现这两者间的互换。例如，时域信号为: \( x_a(t) = \sin(t) \) 将其转换为频率信号则为： \( X_a(F) = \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( F - \frac{1}{2\pi} \right) - \delta \left( F + \frac{1}{2\pi} \right) \right] \) 对于这类周期性函数，大部分频率下的值均为零，因此其频域函数图像仅由几个点构成，这些点称为脉冲。

Sinc插值

从图中可以看出，Sinc插值用于将采样信息恢复为时间序列函数。例如，某采样数据周期为 \(\pi\)，具体数据为： \( (0,1), \left( \frac{\pi}{4}, 1.5 \right), \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right), \left( \frac{3\pi}{4}, 1.5 \right), (\pi, 1), \cdots \) Sinc插值后的恢复函数为: \( x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k \frac{\sin (2t - \pi k)}{2t - \pi k} \) 其中，\( k \) 表示采样点的编号。此公式需遍历所有采样点。Sinc函数是大学微积分首课中的经典函数： \( \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \) 因此，上述公式亦可写作: \( x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k \mathrm{sinc} (2t - \pi k) \)

离散时域傅里叶变换

DTFT 依然以上述例子，某采样数据周期为 \(\pi\)，具体数据为： \( (0,1), \left( \frac{\pi}{4}, 1.5 \right), \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right), \left( \frac{3\pi}{4}, 1.5 \right), (\pi, 1), \cdots \) 离散时域傅里叶变换将其转换为以角频率为变量的函数，即角频率信号。结果如下： \( \chi(\omega) = 2\pi \sum_{k=0}^{3} X[k] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega - \frac{2\pi}{4}k - 2\pi m \right) \) 角频率 \(\omega\) 实际上是为了视觉上的便利，它与频率的关系如下: \( \omega = 2\pi f \)

离散傅里叶变换

继续使用上述例子，某采样数据周期为 \(\pi\)，具体数据为： \( (0,1), \left( \frac{\pi}{4}, 1.5 \right), \left( \frac{\pi}{2}, 2 \right), \left( \frac{3\pi}{4}, 1.5 \right), (\pi, 1), \cdots \) 离散傅里叶变换将其转换为离散频谱。结果如下： \( X[k] \)

= ∑ n = N ? 1 x [ n ] ?? e ? j 2 π N k n , k = , 1 , … , N ? 1. X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\;e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \qquad k=0,1,\dots ,N-1 . X [ k ] = n = ∑ N ? 1 ? x [ n ] e ? j N 2 π ? kn , k = , 1 , … , N ? 1.

代入采样点就是： X [ ] = 1 + 1.5 + 2 + 1.5 = 6 , X [ 1 ] = 1 + 1.5 e ? j π / 2 + 2 e ? j π + 1.5 e ? j 3 π / 2 = ? 1 , X [ 2 ] = 1 + 1.5 e ? j π + 2 e ? j 2 π + 1.5 e ? j 3 π = , X [ 3 ] = 1 + 1.5 e ? j 3 π / 2 + 2 e ? j 3 π + 1.5 e ? j 9 π / 2 = ? 1.

\begin{aligned} X[0]&=1+1.5+2+1.5=6,\\ X[1]&=1+1.5e^{-j\pi/2}+2e^{-j\pi}+1.5e^{-j3\pi/2} =-1,\\ X[2]&=1+1.5e^{-j\pi}+2e^{-j2\pi}+1.5e^{-j3\pi}=0,\\ X[3]&=1+1.5e^{-j3\pi/2}+2e^{-j3\pi}+1.5e^{-j9\pi/2} =-1. \end{aligned}

X [ ] X [ 1 ] X [ 2 ] X [ 3 ] ? = 1 + 1.5 + 2 + 1.5 = 6 , = 1 + 1.5 e ? jπ /2 + 2 e ? jπ + 1.5 e ? j 3 π /2 = ? 1 , = 1 + 1.5 e ? jπ + 2 e ? j 2 π + 1.5 e ? j 3 π = , = 1 + 1.5 e ? j 3 π /2 + 2 e ? j 3 π + 1.5 e ? j 9 π /2 = ? 1. ?

Dirichlet插值 Dirichlet插值就是将离散频率转换为角频率信号，以先前离散傅里叶变换后的数据为例，周期为 π \pi π ： ( , 6 ) , ( π 4 , ? 1 ) , ( π 2 , ) , ( 3 π 4 , ? 1 ) , ( π , 6 ) , ? (0,6),(\frac\pi4,-1),(\frac\pi2,0),(\frac{3\pi}{4},-1),(\pi,6),\cdots ( , 6 ) , ( 4 π ? , ? 1 ) , ( 2 π ? , ) , ( 4 3 π ? , ? 1 ) , ( π , 6 ) , ?

Dirichlet插值后的结果为： χ ( ω ) = 6 ? sin ? ( 2 ω ) sin ? ( ω / 2 ) ? sin ? ?? ( 2 ( ω ? π / 2 ) ) sin ? ?? ( ( ω ? π / 2 ) / 2 ) ? sin ? ?? ( 2 ( ω ? 3 π / 2 ) ) sin ? ?? ( ( ω ? 3 π / 2 ) / 2 ) \chi(\omega)=6\,\frac{\sin(2\omega)}{\sin(\omega/2)} -\frac{\sin\!\bigl(2(\omega-\pi/2)\bigr)}{\sin\!\bigl((\omega-\pi/2)/2\bigr)} -\frac{\sin\!\bigl(2(\omega-3\pi/2)\bigr)}{\sin\!\bigl((\omega-3\pi/2)/2\bigr)} χ ( ω ) = 6 sin ( ω /2 ) sin ( 2 ω ) ? ? sin ( ( ω ? π /2 ) /2 ) sin ( 2 ( ω ? π /2 ) ) ? ? sin ( ( ω ? 3 π /2 ) /2 ) sin ( 2 ( ω ? 3 π /2 ) ) ?

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关键词：傅里叶变换 傅里叶 Dirichlet aligned Family