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连续函数的运算与初等函数的连续性
为什么我们需要定义连续函数的运算？这是因为连续函数拥有非常优良的特性，即在任何一点上的极限值都等于该点的函数值。如果我们把每个连续函数视为一个独立的实体，就会产生这样的疑问：这些连续函数之间是否存在某种联系。
连续函数的运算
定理一：加减乘除
假设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续，那么它们的和、差、积、商也都在 \(x_0\) 处连续，这里需要注意的是，当 \(g(x)\) 作为除法中的分母时，它在 \(x_0\) 处的值不为零。由于函数在某点的连续性意味着该点存在定义，且函数值等于该点的极限值，因此我们只需验证极限值的加减乘除运算结果是否与相应函数操作后的极限值相同。依据函数极限的运算规则，这一点是可以被证明的。
逆映射与复合映射
定理二：逆映射
如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(I_x\) 上单调递增（或递减）并且连续，那么它的反函数 \(x = f^{-1}(y)\) 在对应的区间 \(I_y = \{y | x \in I_x, y = f(x)\}\) 上也是单调递增（或递减）并且连续。尽管教材中未提供证明，但可以通过图像直观理解这一结论。由于函数及其反函数的图形关于直线 \(y = x\) 对称，因此当 \(f(x)\) 是连续的，即其图形为一条连续平滑的曲线时，\(x = f^{-1}(y)\) 同样会是一条连续平滑的曲线，从而证明了 \(f^{-1}(y)\) 的连续性。
定理三：复合映射
设 \(y = f[g(x)]\) 是由函数 \(u = g(x)\) 与 \(y = f(u)\) 复合而成，若 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0\)，且 \(U(x_0) \in D_{f \circ g}\)，如果函数 \(y = f(u)\) 在 \(u_0\) 处连续，则 \(\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f(u_0)\)。这一结论的证明较为直接，基于复合函数的极限理论，如果 \(f(u)\) 在 \(u_0\) 处有极限 \(A\)，同时 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处有极限 \(u_0\)，则 \(\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = A\)。鉴于 \(f(x)\) 在 \(u_0\) 处连续，根据连续性的定义，\(\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f(u_0)\)。因为 \(f(u)\) 在 \(g(x)\) 的极限处连续，我们可以将上述表达式写作 \(\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f[\lim_{x \to x_0} g(x)] = f(u_0)\)，这表明，在这种情况下，计算复合函数的极限等同于先计算内部函数的极限，然后将其代入外部函数中直接求值。
定理四：连续函数的复合
假设函数 \(y = f[g(x)]\) 是由 \(y = f(u)\) 和 \(u = g(x)\) 通过复合形成，且 \(U(x_0) \in D_{f \circ g}\)，如果 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，且 \(g(x_0) = u_0\)，同时 \(f(u)\) 在 \(u_0\) 处连续，则 \(f[g(x)]\) 在 \(x_0\) 处连续。从定理三我们知道 \(\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = f(u_0)\)，为了证明 \(f[g(x)]\) 在 \(x_0\) 处连续，即证明它在 \(x_0\) 处有定义且极限值为 \(f[g(x_0)]\)。因此，只需证明 \(f(u_0) = f[g(x_0)]\)，而这是显然成立的。实际上，这个定理说明了，如果两个连续函数进行复合，且这两个函数在 \(x_0\) 处均连续，那么复合后的函数在 \(x_0\) 处同样连续。
当讨论从点的连续性扩展至区间时，实际上是指两个复合函数连续区间之间的交集。
初等函数的连续性
在之前的课程中，我们已经初步了解了初等函数。在深入探讨初等函数之前，让我们先回顾一下基本初等函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
初等函数是由这些基本初等函数通过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和有限次的复合运算组合而成的。例如，幂函数、常数函数、指数函数和三角函数在其定义域内表现出连续性，依据定理二，反三角函数和对数函数同样在其定义域内保持连续。
由于所有基本初等函数在其定义域内均表现为连续，根据定理一、二和四，由这些基本初等函数通过有限次的加减乘除及复合运算形成的初等函数，也将在其定义域内保持连续性。
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