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线性代数：初等变换与线性方程组的关系（矩阵表示）
对于任意线性方程组，无论是齐次还是非齐次情形，行初等变换都是一种保持解集不变的等价变形手段。这意味着通过行变换得到的新方程组与原方程组具有完全相同的解。
- 行初等变换：不会改变方程组的解集，属于等价操作；
- 列初等变换：虽然能保持系数矩阵的秩和行空间等性质不变，但对方程组进行列变换后所求得的解需经过逆向还原才能对应到原始变量上。
一、原始方程组及其增广矩阵形式
考虑如下线性方程组，其真实解为：
\( x_1 = 3, \quad x_2 = 4 \)
该方程组对应的增广矩阵 \( \overline{A} \) 由系数矩阵 \( A \) 和常数项列向量 \( \boldsymbol{b} \) 构成，表示如下：
\[ \overline{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \] [此处为图片1]二、初等行变换的应用（矩阵与方程同步变化，解保持不变）
1. 行交换操作（\( R_1 \leftrightarrow R_2 \)）
将增广矩阵的第一行与第二行互换：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & \vdots & -1 \\ 2 & 1 & \vdots & 10 \end{bmatrix} \]对应的方程组变为：
\[ \begin{cases} x_1 - x_2 = -1 \\ 2x_1 + x_2 = 10 \end{cases} \]求解结果仍为：\( x_1 = 3, x_2 = 4 \)，说明解集未发生改变。
2. 行倍乘操作（\( R_2 = 2R_2 \)）
将增广矩阵的第二行乘以非零常数 2：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 = 2R_2} \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 2 & -2 & \vdots & -2 \end{bmatrix} \]对应的方程组调整为：
\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 10 \\ 2x_1 - 2x_2 = -2 \end{cases} \]解得：\( x_1 = 3, x_2 = 4 \)，验证了解的稳定性。
3. 行加减操作（\( R_1 = R_1 + R_2 \)）
将第二行加至第一行：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 = R_1 + R_2} \begin{bmatrix} 3 & 0 & \vdots & 9 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \]变换后的方程组为：
\[ \begin{cases} 3x_1 = 9 \\ x_1 - x_2 = -1 \end{cases} \]解得：\( x_1 = 3, x_2 = 4 \)，再次确认了解的一致性。
[此处为图片1]三、初等列变换（仅对系数列操作，常数项列保持不变，通过变量替换还原解）
在进行初等列变换时，仅针对增广矩阵中的系数部分进行操作，常数项列不参与变换。每一步变换后需引入新变量表示原变量的关系，并在求解完成后通过逆替换恢复原始解。
1. 列交换（C C）
对增广矩阵的系数部分第1列与第2列进行交换，常数项列位置不变：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_1 \leftrightarrow C_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \vdots & 10 \\ -1 & 1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \] [此处为图片1]设新变量 z = (z, z)，其中：
- z = x
- z = x
对应的逆替换关系为：
- x = z
- x = z
使用新变量 z 表示的新方程组为：
\[ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 10 \\ -z_1 + z_2 = -1 \end{cases} \]将两式相加得：3z = 9 z = 3；代入第一式得 z = 4。
通过逆替换还原原变量：
- x = z = 3
- x = z = 4
结果与原方程组解一致，验证正确。
2. 列倍乘（C = 2C）
将增广矩阵中系数部分的第2列整体乘以2，常数项列不动：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_2 = 2C_2} \begin{bmatrix} 2 & 2 & \vdots & 10 \\ 1 & -2 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \] [此处为图片2]定义新变量 z = (z, z)，满足：
- z = x
- z = x / 2 x = 2z（逆替换）
对应的新方程组为：
\[ \begin{cases} 2z_1 + 2z_2 = 10 \\ z_1 - 2z_2 = -1 \end{cases} \]化简第一式（两边除以2）：
\[ \begin{cases} z_1 + z_2 = 5 \\ z_1 - 2z_2 = -1 \end{cases} \]用第二式减去第一式：
\[ (z_1 - 2z_2) - (z_1 + z_2) = -1 - 5 \Rightarrow -3z_2 = -6 \Rightarrow z_2 = 2 \]代入第一式得：z + 2 = 5 z = 3
逆替换回原变量：
- x = z = 3
- x = 2z = 2 × 2 = 4
解还原成功，符合原方程组解。
3. 列加减（C = C + C）
将增广矩阵中系数部分的第1列替换为第1列与第2列之和，常数项列保持不变：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_1 = C_1 + C_2} \begin{bmatrix} 3 & 1 & \vdots & 10 \\ 0 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \] [此处为图片3]设定新变量 z = (z, z)，其与原变量关系为：
- z = x - x
- z = x
逆替换关系为：
- x = z + z
- x = z
新方程组变为：
\[ \begin{cases} 3z_1 + z_2 = 10 \\ 0z_1 - z_2 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3z_1 + z_2 = 10 \\ -z_2 = -1 \end{cases} \]由第二式得：z = 1；代入第一式得：3z + 1 = 10 z = 3
逆替换还原原变量：
- x = z + z = 3 + 1 = 4
- x = z = 1
最终得到原方程组的解被正确还原。
对增广矩阵的系数部分执行列变换操作：将第2列加到第1列，常数项列保持不变。原系数矩阵第1列为 [2, 1]，第2列为 [1, -1]，相加后得到新的第1列为 [3, 0]。变换过程如下所示：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_1 = C_1 + C_2} \begin{bmatrix} 3 & 1 & \vdots & 10 \\ 0 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \] [此处为图片1]引入新变量 z 和 z，并建立与原变量 x、x 的关系：
\[ x_1 = z_1, \quad x_2 = z_1 + z_2 \]该变量替换可表示为矩阵形式：
\[ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_1 = z_1 \\ x_2 = z_1 + z_2 \end{cases} \]其逆变换为：
\[ z_1 = x_1, \quad z_2 = x_2 - x_1 \]根据变换后的系数矩阵，构建完全由新变量 z、z 表示的方程组：
\[ \begin{cases} 3z_1 + z_2 = 10 \\ 0z_1 - z_2 = -1 \end{cases} \]进一步整理得：
\[ \begin{cases} 3z_1 + 1z_2 = 10 \\ 0z_1 - 1z_2 = -1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} z_2 = 1 \\ 3z_1 + 1 = 10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad z_1 = 3 \]通过逆替换还原原变量解：
\[ x_1 = z_1 = 3, \quad x_2 = z_1 + z_2 = 3 + 1 = 4 \]
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