4.3 数值稳定性保障

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

4.3 数值稳定性保障

在基于整数运算的Cortex-M0电机控制系统中，算法的长期可靠运行依赖于良好的数值稳定性。由于M0平台不具备浮点处理单元，且采用定点表示和有限字长，同时缺乏硬件级溢出保护机制，因此数值误差更容易发生累积、传播甚至被放大[1]。若不进行系统性控制，这些误差可能导致控制性能劣化（如出现稳态偏差或转矩脉动），严重时还可能引发控制器发散、保护逻辑误动作，乃至造成硬件损坏。为应对这一挑战，本节将重点分析三种关键机制：溢出检测与处理、饱和与限幅策略，以及噪声和量化误差的抑制方法。

4.3.1 溢出检测与处理机制

在定点计算中，溢出是最具破坏性的风险之一，指的是运算结果超出了数据类型所能表达的数值范围。在电机控制应用中，此类问题不仅会引入瞬时错误，更可能打破闭环系统的平衡状态，导致整体行为失控。

1. 溢出类型与处理器标志位支持
Cortex-M0的算术逻辑单元（ALU）在每次执行算术操作后，会更新应用程序状态寄存器（APSR）中的若干标志位，包括：

• N（负标志）：当运算结果为负数时置1。
• Z（零标志）：结果为零时置1。
• C（进位标志）：加法中最高位产生进位时置1；减法中若无借位则置1（即“非借位”标志）。
• V（溢出标志）：仅针对有符号运算，当结果超出可表示范围时置1。

V标志是判断有符号溢出的核心依据，其触发条件为：两个同号操作数相加得到异号结果，或两个异号操作数相减后结果与被减数符号相反。然而，在C语言编程环境中，开发者无法直接访问这些标志位，且编译器通常不会保证在发生有符号溢出时正确设置V标志——因为根据C标准，有符号整数溢出属于未定义行为。

2. 软件层面的溢出检测方法
鉴于硬件支持受限，必须通过软件手段主动实现溢出监控。常用策略如下：

范围预判法（前置检查）
该方法在执行运算前预测结果是否越界。例如对于加法操作：

c = a + b

若输入变量

a

和

b

均为正，则需验证

a > INT_MAX - b

是否成立；若均为负，则应确保

a < INT_MIN - b

。此方式虽引入分支判断，但能有效预防溢出发生。

int16_t checked_add_s16(int16_t a, int16_t b) {
    int32_t res = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (res > INT16_MAX) return INT16_MAX;
    if (res < INT16_MIN) return INT16_MIN;
    return (int16_t)res;
}

双宽度运算法（后验检查）
使用更高精度的数据类型完成运算后再判断结果是否越界。这种方法通用性强、可靠性高，但伴随一定的类型转换与计算开销。

int32_t

// 通用有符号加法溢出检测
int add_overflow_detected(int32_t a, int32_t b, int32_t *result) {
    int64_t tmp = (int64_t)a + (int64_t)b;
    if (tmp > INT32_MAX || tmp < INT32_MIN) {
        return 1; // 溢出
    }
    *result = (int32_t)tmp;
    return 0; // 无溢出
}

3. 乘法运算中的溢出特性与防护
乘法比加法更易引发溢出，因两个N位整数相乘可能生成最多2N位的结果。在定点乘法

c = (a * b) >> n

中，溢出可能发生于以下环节：

• 中间乘积
  

  a * b

  
  超出存储变量的容量（如用相同位宽变量保存）。
• 移位调整后的最终值超出目标变量范围。

安全实现要求使用足够宽度的中间变量来容纳完整乘积：

int16_t safe_q15_mul(int16_t a_q15, int16_t b_q15) {
    int32_t product = (int32_t)a_q15 * (int32_t)b_q15; // 得到Q30格式
    product += 1 << 14; // 添加舍入偏移
    int32_t result = product >> 15; // 转换为Q15
    // 理论上仍可能越界（如 -1 × -1 ≈ 1）
    if (result > 32767) return 32767;
    if (result < -32768) return -32768;
    return (int16_t)result;
}

4. 隐式溢出与累积性误差问题
除显式算术外，某些操作也可能引发隐式溢出。例如左移操作中，若高位有效位被移出寄存器，则会导致信息丢失甚至符号反转。特别地，C语言标准未定义对负数执行左移的行为，且一旦移出位为1即视为溢出。因此，应避免对有符号数执行可能改变符号位的左移操作，或先将其转换为无符号类型再处理。

积分器是累积误差的典型场景。即使每步增量极小，持续累加仍可能导致32位或64位变量最终溢出。为此，必须结合输出限幅与条件复位机制，防止积分饱和。

4.3.2 饱和运算与限幅策略

为了增强系统鲁棒性并防止数值异常扩散，饱和运算和限幅技术被广泛应用于信号路径的关键节点。这类策略的核心思想是在检测到越界趋势时，将结果钳制在合法范围内，而非任其回绕或崩溃。通过合理设计限幅边界和动态响应逻辑，可在保持控制精度的同时避免失控风险。

在数字信号处理与控制系统中，当变量可能超出有效范围时，常采用饱和运算和限幅两种策略来确保数值的合理性。二者的核心目标一致，但应用场景不同：饱和运算通常作为算术操作的一部分，在计算过程中即时生效；而限幅则多用于数据流的边界控制（如控制器输出前），属于一种保护机制或后处理手段。

1. 饱和运算的实现方法

饱和运算的作用是将溢出的结果钳位至对应数据类型的取值极限，而非允许其发生环绕（wrap-around）。这种处理方式对于保持系统稳定性至关重要。然而，在ARM Cortex-M0等缺乏专用饱和指令的平台上，高效实现该功能具有挑战性。

SSAT

USAT

通用有符号32位饱和函数

通过条件判断实现对64位中间结果向32位整型的安全转换：

static inline int32_t saturate_int32(int64_t x) {
    if (x > INT32_MAX) return INT32_MAX;
    if (x < INT32_MIN) return INT32_MIN;
    return (int32_t)x;
}

快速16位饱和加法（利用编译器内建函数）

部分现代编译器（如ARM GCC）提供内置函数以支持高效的饱和算术运算：

#include <arm_math.h>

int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b) {
    return __builtin_add_overflow_p(a, b, (int16_t)0) ?
           ((a > 0) ? INT16_MAX : INT16_MIN) : (a + b);
}

若项目已集成CMSIS-DSP库，也可直接调用优化函数（如__QADD16）实现双通道并行饱和加法。

无分支饱和算法设计

在电流环等对执行时间抖动敏感的应用中，应避免条件跳转带来的不确定性。可通过位运算实现判定与修正的无分支逻辑：

// 示例：无分支16位有符号饱和加法原理
int16_t sat_add_branchless(int16_t a, int16_t b) {
    int32_t sum = (int32_t)a + (int32_t)b;
    int32_t sign_mask = (a ^ b) >> 31;
    int32_t ovf_mask = ((sum ^ a) & (sum ^ b)) >> 31;
    int32_t sat_mask = ovf_mask & ~sign_mask;
    int32_t result = (sat_mask & (sum >> 31)) | (~sat_mask & sum);
    // 实际应用需更精确的掩码构造以获得正确饱和值
    return (int16_t)result;
}

2. 限幅策略的设计与实际应用

限幅是保障控制系统稳定运行的关键措施之一，其设计需兼顾物理设备的约束条件与动态响应性能之间的平衡。

硬限幅与软限幅对比

硬限幅：一旦变量越界，立即将其置为边界值。实现简单，但可能导致输出突变，引入高频谐波成分。

int16_t hard_clip(int16_t x, int16_t min, int16_t max) {
    if (x < min) return min;
    if (x > max) return max;
    return x;
}

软限幅：在边界附近设置平滑过渡区，使输出变化连续且可导。常用非线性函数（如双曲正切或多项式）逼近理想特性，虽增加计算开销，但能有效抑制高频干扰。

[min, max]

电机控制中的关键限幅点

• 电流给定限幅：防止电机过流及功率器件损坏，需结合直流母线电压与当前转速，依据“电流圆”或“电压椭圆”极限确定最大允许输出。
• 电压输出限幅：确保SVPWM处于线性调制区域。对于两相静止坐标系下的电压分量，需满足以下关系：
  Vα + Vβ ≤ (Vdc / √3)
  可通过圆域限幅或简化六边形限幅实现。
• 积分器限幅：对PI控制器中的积分状态进行钳位，防止其无限制累积，是抗积分饱和的基础。
• 速度与位置限幅：保护机械传动系统免受超速或越位损伤。

基于限幅的抗积分饱和机制

积分饱和现象发生在PI控制器输出被限幅后，误差持续存在导致积分项继续增长，使得系统退出饱和状态缓慢。有效的抗饱和策略应在检测到输出饱和时，动态调整积分行为。

typedef struct {
    int16_t Kp;
    int16_t Ki;
    int16_t integral;
    int16_t out_min;
    int16_t out_max;
    // 可扩展抗饱和标志或反馈项
} pi_controller_t;

在更新积分项时，可根据最终输出是否达到边界决定是否冻结积分输入，从而实现快速恢复能力。

typedef struct {
    int16_t Kp;           // 比例增益
    int16_t Ki;           // 积分增益
    int32_t integral;     // 积分项累加值
    int16_t out_min;      // 输出最小限幅值
    int16_t out_max;      // 输出最大限幅值
    int16_t aw_gain;      // 抗饱和反馈增益，通常与Ki/Kp同量级
} pi_controller_t;

/**
 * 更新PI控制器输出，包含抗饱和机制
 */
int16_t pi_controller_update(pi_controller_t *pi, int16_t error) {
    // 计算比例项（假设使用Q15格式）
    int32_t p_term = ((int32_t)pi->Kp * error) >> 15;

    // 计算积分增量并更新积分累加器
    int32_t i_inc = ((int32_t)pi->Ki * error) >> 15;
    pi->integral += i_inc;

    // 对积分器进行限幅处理（推荐做法，防止过度累积）
    pi->integral = clip(pi->integral, INTEGRAL_MIN, INTEGRAL_MAX);

    // 计算未限幅的总输出（确保比例与积分项处于相同Q格式）
    int32_t v_unclamped = p_term + ((int32_t)pi->integral);

    // 对最终输出进行上下限限制
    int16_t v_clamped = clip(v_unclamped, pi->out_min, pi->out_max);

    // 实现抗饱和逻辑：若输出被限幅，则引入饱和误差反馈
    if (v_clamped != v_unclamped) {
        int32_t saturation_error = (int32_t)(v_clamped - v_unclamped);
        // 利用抗饱和增益调整积分项，抑制过冲
        pi->integral -= ((int32_t)pi->aw_gain * saturation_error) >> 15;
    }

    return v_clamped;
}

抗饱和增益的选择对系统从饱和状态恢复的速度具有重要影响。一般建议将其设置在接近 的范围内，并结合仿真或实际测试进行精细调节，以达到最优动态响应和稳定性平衡。

该参数的理想取值常位于 附近，需根据具体应用场景通过实验整定获得。

4.3.3 噪声与量化误差的抑制策略

在数字控制系统中，噪声与量化误差是影响控制精度和系统稳定性的关键因素。传感器测量、电源波动以及开关器件产生的干扰均可能引入外部噪声；而ADC采样精度限制及定点运算过程中的舍入操作则导致量化误差。这些扰动通常表现为叠加于真实信号上的随机或周期性偏差。

1. 量化误差的基本特性

量化误差 $ e_q $ 定义为原始连续信号 $ x $ 经离散化处理后所得数值 $ Q(x) $ 与其真实值之间的差值，即：

$$ e_q = Q(x) - x $$

对于采用均匀步长 $ q $ 并执行四舍五入方式的量化器，其误差范围满足 $ |e_q| \leq q/2 $，且在区间 $ [-q/2, q/2] $ 内近似呈均匀分布。其主要统计特征包括：

• 零均值：当输入信号在多个量化区间内充分变化时，期望值 $ E[e_q] = 0 $。
• 方差：$ \sigma_q^2 = q^2 / 12 $，反映平均噪声功率水平。
• 功率谱特性：若信号变化较快且不与采样时钟同步，则量化噪声在奈奎斯特频率范围内可视为白噪声。

在闭环控制架构中，量化误差的影响路径较为复杂。例如，在电机速度环中，速度反馈信号的量化偏差会经由控制器传递至电流给定环节，最终引发转矩脉动，降低运行平稳性。

2. 常见抑制技术

提升系统分辨率

提高ADC位数（如从12位升级至16位）或在算法中采用更高精度的数据格式（如关键变量使用Q31表示），是最直接有效的降噪手段。然而，这种方法受限于硬件成本与处理器的计算能力，难以无限制扩展。

抖动注入（Dithering）

通过在量化前向通道中加入小幅随机噪声（称为“抖动”），可以破坏量化误差与输入信号间的相关性，将原本可能出现的极限环振荡或谐波失真转化为更易处理的宽频白噪声。该技术在电机控制中有如下应用形式：

• 模拟抖动：在ADC前端电路中注入噪声，实现难度较高，依赖额外硬件支持。
• 数字抖动：在软件层面，对ADC读取结果叠加一个伪随机数，幅度通常设为0.5~1 LSB。虽然能有效打破相关性，但也会略微增加总体噪声功率。

// 简化的16位线性反馈移位寄存器（LFSR）用于生成伪随机抖动
static uint16_t dither_lfsr = 0xACE1u;

int16_t get_dither() {
    if (dither_lfsr & 0x0001) {
        dither_lfsr = (dither_lfsr >> 1) ^ 0xA300u;
        return 1;
    } else {
        dither_lfsr >>= 1;
        return -1;
    }
}

// 应用数字抖动到原始ADC值
int16_t adc_value_with_dither = adc_raw_value + get_dither();

数字滤波技术

低通滤波器可用于有效衰减高频段的量化噪声。但由于滤波会引入相位滞后，可能削弱系统的动态响应性能，因此截止频率的设计必须权衡噪声抑制与控制带宽之间的关系。

一阶IIR低通滤波器因其结构简单、资源消耗低而被广泛使用，但其阻带衰减速率较慢，适用于对滤波性能要求不高的场景。

// 实现公式：y[n] = alpha * x[n] + (1 - alpha) * y[n-1]
// 其中 alpha = Ts / (Ts + Tc)，Ts为采样周期，Tc为滤波器时间常数

int16_t lpf_first_order(int16_t input, int16_t alpha_q15, int16_t *state) {
    int32_t temp = (int32_t)alpha_q15 * (input - *state);
    *state += (temp + (1 << 14)) >> 15;
    return *state;
}

一阶低通滤波器通过简单的递归公式实现，适用于资源受限的嵌入式系统。该函数中使用Q15格式的系数alpha_q15进行加权更新，中间计算采用32位变量防止溢出，并在右移时加入舍入操作（1<<14），提升长期运行下的数值精度。

c = a + b

滑动平均滤波器（FIR）特性分析

滑动平均滤波属于有限冲激响应（FIR）结构，具备严格的线性相位特性，适合对相位失真敏感的应用场景。然而，其实现依赖于存储N个历史采样值，导致内存占用随窗口长度线性增长；同时每步输出需执行N次加法运算，计算开销较大，在Cortex-M0等低功耗微控制器上应谨慎使用大窗长设计。

非线性误差源建模与补偿策略

针对系统中存在的固有非线性问题，可采取针对性校正方法：

• 逆变器死区效应补偿：由于开关器件存在导通延迟，实际输出电压在电流换向期间出现畸变。可通过检测电流极性，在PWM占空比中动态叠加固定时间补偿量，抵消由此引起的平均电压偏差。
• ADC非线性校正技术：模数转换器常存在微分非线性（DNL）和积分非线性（INL）误差。利用预先标定的查找表（LUT），对原始采样值进行映射修正，有效改善测量精度。

自适应与鲁棒控制算法应用

为增强控制系统对外部扰动和参数变化的容忍能力，可在控制器层面引入鲁棒控制机制。例如滑模控制（SMC）对匹配不确定性具有强抗干扰性，但其切换动作易引发输出抖振。在M0平台上实现时，推荐使用连续的饱和函数替代理想符号函数，以平滑控制律、降低高频抖动。

系统级稳定性保障机制

除局部数值处理外，还需建立全局监控体系，确保系统长期稳定运行：

1. 状态变量监测：持续跟踪观测器状态、PI控制器积分项等关键内部变量。若发现其长时间处于上下限边界，可能反映工作点异常或模型失配，需触发告警或参数重调。
2. 故障事件计数机制：对过流、过压等瞬态异常进行累加统计。当单位时间内触发次数超过阈值，则判断系统进入临界不稳定区域，启动降级保护或安全停机流程。
3. 控制器参数在线调节：在安全约束范围内，依据负载工况动态调整增益参数。例如在扰动剧烈时适度降低比例增益，提高系统鲁棒性。

核心要点归纳

• 有符号运算中的溢出风险：C语言中整数溢出属于未定义行为，必须通过软件手段主动防范，常用方法包括输入范围预判和双倍宽度中间变量验证。
• 硬件溢出标志V的局限性：尽管Cortex-M0的ALU会设置溢出标志V，但标准C程序无法直接访问该状态位，需借助内联汇编或编译器内置函数（如__builtin_add_overflow）间接获取。
• 乘法运算的中间溢出问题：两个N位整数相乘会产生最多2N位结果，因此必须使用更宽的数据类型保存中间值（如int32_t相乘应使用int64_t暂存），避免截断错误。
• 饱和运算的优势与实现方式：相较于环绕（wrap-around）行为，饱和将溢出值钳位至数据类型的极限，更符合物理系统的实际响应。在无硬件饱和指令支持的M0核上，可通过条件分支或无分支表达式实现。
• 限幅操作的重要性：为满足执行机构的物理限制并维持控制稳定性，应在电流指令、电压输出、积分器输出等关键节点施加硬限幅或渐进式软限幅。
• 抗积分饱和机制不可或缺：PI控制器在输出饱和期间应停止积分累积，或采用反计算方式进行积分项抑制，防止深度饱和后恢复缓慢甚至失控。
• 量化误差的噪声模型：可将量化过程视为叠加了均值为零、方差与步长平方成正比的白噪声。在低幅信号和高增益回路中，可能导致极限环振荡。
• 抖动注入改善量化性能：人为引入小幅随机噪声破坏量化误差与输入信号的相关性，将谐波失真转化为宽带噪声，虽略微增加总噪声功率，但显著改善频谱纯净度。
• 数字滤波器的设计权衡：滤波是抑制高频噪声的主要手段，但会引入相位滞后。需根据控制带宽要求合理选择滤波器类型（如IIR/FIR）及截止频率。
• 系统级综合鲁棒性提升：结合死区补偿、参数在线微调与多维度稳定性监控，从整体架构层面应对噪声干扰、非线性失真和模型不确定性。

参考文献

1. OMAR F, RASID M M A, HASSAN M K. A Systematic Approach for Fixed-Point Implementation of Digital Controllers[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2010, 57(10): 3401-3409.
2. KAMM L J. Understanding Numeric Error in Fixed-Point Arithmetic for Motor Control Applications[J]. IEEE Industrial Electronics Magazine, 2013, 7(3): 40-49.
3. ?STR?M K J, WITTENMARK B. Computer-Controlled Systems: Theory and Design[M]. 3rd ed. New York: Dover Publications, 2011: 45-50.
4. FRANKLIN G F, POWELL J D, WORKMAN M L. Digital Control of Dynamic Systems[M]. 3rd ed. Menlo Park: Addison-Wesley, 1998: 122-155.

[5] WIDROW B, KOLAR I. Quantization Noise: Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2008: 1-30.

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：稳定性 controller Saturation Integral OverFlow