发帖
雷达卡
Computational Methods in Finance.pdf
(22.47 MB, 需要: RMB 18 元)
内容特别丰富650多页，内容新颖2024年底的最新版本，全部是矢量文字，方便翻译学习
Computational Methods in Finance is a resource developed from the author’s courses at Columbia University and the Courant Institute of New York University. This self-contained text is designed for graduate students in financial engineering and mathematical finance, as well as practitioners in the financial industry. It will help readers accurately price a vast array of derivatives. This new edition has been thoroughly revised throughout to bring it up to date with recent developments. It features numerous new exercises and examples, as well as two entirely new chapters on machine learning.
Features
• Explains how to solve complex functional equations through numerical methods
• Includes dozens of challenging exercises
• Suitable as a graduate-level textresource for financial engineering and financial mathematics or as a professional resource for working quants.
Contents
List of Figures xvii
List of Tables xxi
Preface xxv
Acknowledgments xxix
I Pricing and Valuation (Traditional) 1
1 Stochastic Processes and Pricing 3
1.1 Overview of Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Hedging Using Options: A Simple Illustration . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 A Visualized Approach to Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Put–Call Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Cumulative Distribution Function via Characteristic Function . . . 14
1.2.2 Moments of a Random Variable via the Characteristic Function . . 15
1.2.3 Characteristic Function of Demeaned Random Variables . . . . . . 16
1.2.4 Calculating Jensen’s Inequality Correction . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.5 Calculating the Characteristic Function of the Logarithmic of a
Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.7 Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.8 Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.9 Chi-squared Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.10 Standard Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.11 Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.12 L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Stochastic Models for Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Black–Derman–Toy (BDT) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Black–Karasinski (BK) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Ornstein–Uhlenbeck Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.4 Cox–Ingersoll–Ross Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.5 Heath–Jarrow–Morton (HJM) Models . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.6 Brace–Gatarek–Musiela (BGM) Model . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.7 Affine Term Structure Models (ATSMs) . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Stochastic Models of Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Bachelier Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Geometric Brownian Motion — Black–Merton–Scholes . . . . . . . 27
1.4.3 Local Volatility Models — Derman and Kani . . . . . . . . . . . . 29
ix
1.4.4 Geometric Brownian Motion with Stochastic Volatility — Heston
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5 Mixing Model — Stochastic Local Volatility (SLV) Model . . . . . 31
1.4.6 Variance Gamma Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.7 CGMY Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.8 Normal Inverse Gaussian (NIG) Model . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.9 Variance Gamma with Stochastic Arrival (VGSA) Model . . . . . . 37
1.4.10 Equity Models and Their Corresponding Interest Rate Models . . . 39
1.5 Valuing Derivatives under Various Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.1 Pricing under the Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.2 Change of Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 Pricing under Forward Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Pricing under Swap Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Pricing under Share Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6 Derivative Pricing Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.1 Summary of Approaches to Derivatives Pricing . . . . . . . . . . . 47
1.6.2 Classifying Pricing Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6.3 Special Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Derivatives Pricing via Transform Techniques 49
2.1 Derivatives Pricing via the Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1 Call Option Pricing via the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Put Option Pricing via the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . 55
2.1.3 Evaluating the Pricing Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.4 Implementation of Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.5 Damping Factor α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 Fractional Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.1 Formation of Fractional FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.2 Implementation of Fractional FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Derivatives Pricing via the Fourier-Cosine (COS) Method . . . . . . . . . 70
2.3.1 COS Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2 COS Option Pricing for Different Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.3 Truncation Range for the COS Method . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.4 Numerical Results for the COS Method . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Cosine Method for Path-Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.1 Bermudan Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.2 Discretely Monitored Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5 Saddlepoint Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5.1 Generalized Lugannani–Rice Approximation . . . . . . . . . . . . . 83
2.5.2 Option Prices as Tail Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5.3 Lugannani–Rice Approximation for Option Pricing . . . . . . . . . 86
2.5.4 Implementation of the Saddlepoint Approximation . . . . . . . . . 88
2.5.5 Numerical Results for Saddlepoint Methods . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Power or Leverged Option Pricing via the Fourier Transform . . . . . . . . 93
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3 Introduction to Finite Differences 102
3.1 Taylor Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2 Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
x Contents
Contents xi
3.2.1 Explicit Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.2 Implicit Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.3 Crank–Nicolson Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.4 Multi-Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1 Stability of the Explicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.2 Stability of the Implicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.3 Stability of the Crank–Nicolson Scheme . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.4 Stability of the Multi-Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4 Derivative Approximation by Finite Differences: Generic Approach . . . . 123
3.5 Matrix Equations Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5.1 Tridiagonal Matrix Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5.2 Pentadiagonal Matrix Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 Derivative Pricing via Numerical Solutions of PDEs 135
4.1 Option Pricing under the Generalized Black–Merton–Scholes PDE . . . . . 137
4.1.1 Explicit Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.2 Implicit Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.3 Crank–Nicolson Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2 Boundary Conditions and Critical Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.1 Implementing Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.2 Implementing Deterministic Jump Conditions . . . . . . . . . . . . 146
4.3 Nonuniform Grid Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.1 Unequal Sub-intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.2 Coordinate Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Dimension Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 Pricing Path-Dependent Options in a Diffusion Framework . . . . . . . . . 152
4.5.1 Bermudan Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.2 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.3 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6 Forward PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.1 Vanilla Calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6.2 Down-and-Out Calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6.3 Up-and-Out Calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.7 Finite Differences in Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7.1 Heston Stochastic Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.7.2 Options Pricing under the Heston PDE . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.7.3 Alternative Direction Implicit (ADI) Scheme . . . . . . . . . . . . . 177
4.7.4 Heston PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.7.5 Numerical Results and Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Case Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5 Derivative Pricing via Numerical Solutions of PIDEs 194
5.1 Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.2 Numerical Solution of PIDEs (a Generic Example) . . . . . . . . . . . . . 194
5.2.1 Derivation of the PIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.2.3 Evaluation of the Integral Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
xii Contents
5.2.4 Difference Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3.1 Heaviside Term — Synthetic Dividend Process . . . . . . . . . . . . 210
5.3.2 Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4 PIDE Solutions for L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.5 Forward PIDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.5.1 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.5.2 Down-and-Out and Up-and-Out Calls . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.6 Calculation of g1 and g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Case Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 Simulation Methods for Pricing and valuation 229
6.1 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1.1 Linear Congruential Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.1.2 Tests on Randomness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1.3 Standard Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2 Sampling from Various Different Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.1 Inverse Transform Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.2 Acceptance–Rejection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.2.3 Univariate Standard Normal Random Variables . . . . . . . . . . . 245
6.2.4 Multivariate Normal Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.5 Cholesky Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.3 Models of Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.3.1 Full Rank Gaussian Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.3.2 Correlating Gaussian Components in a Variance Gamma
Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.3.3 Linear Mixtures of Independent L´evy Processes . . . . . . . . . . . 253
6.4 Stochastic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.4.1 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.4.2 Variance Gamma Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.5.1 Quasi-Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.5.2 Latin Hypercube Sampling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.6 Numerical Integration of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . 263
6.6.1 Euler Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.6.2 Milstein Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.6.3 Runge–Kutta Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.7 Simulating SDEs under Different Stochastic Models . . . . . . . . . . . . . 266
6.7.1 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.7.2 Ornstein–Uhlenbeck Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.7.3 CIR Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.7.4 Heston Stochastic Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.7.5 Variance Gamma Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.7.6 Variance Gamma with Stochastic Arrival (VGSA) Process . . . . . 271
6.7.7 Merton-Jump Diffusion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.7.8 Discrete Time Double Gamma SV Model (Hirsa-Madan) . . . . . . 278
6.8 American Option Pricing Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.8.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.8.2 Longstaff & Schwartz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.9 Output/Simulation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Contents xiii
6.9.1 Chebyshev’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.9.2 Central Limit Theorem (CLT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.10 Variance Reduction Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.10.1 Control Variate Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.10.2 Antithetic Variates Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.10.3 Conditional Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.10.4 Importance Sampling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.10.5 Stratified Sampling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.10.6 Common Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.10.7 Path-wise Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.10.8 The Likelihood Ratio Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.11 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
II Pricing and Valuation (ML/DL–based) 325
7 Supervised Deep Neural Networks for Pricing 327
7.1 Traditional Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2 Labels and Parameter Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.2.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.2.2 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7.2.3 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.3 Brief Introduction to Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.3.1 Activation Functions g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.3.2 Convolutional Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.3.3 More Hidden Layers or More Neurons Per Layer? . . . . . . . . . . 348
7.3.4 Dropout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.3.5 Choice of Optimizer and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.4 Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.4.1 Structure/Architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.4.2 Diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.5 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.5.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.5.2 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.5.3 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.6 Deep Neural Network versus Recurrent Neural Network . . . . . . . . . . . 359
7.7 Findings and Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Case Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
8 An Unsupervised Deep Learning Approach to Solving Partial
Integro-Differential Equations 364
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8.1.1 PIDE for Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.2 Neural Network as the Solution to the PIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.2.1 Traditional Multi-layer Perceptron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.2.2 Neural Network Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
8.2.3 Singular Terms in the Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.2.4 Full Structure of the Neural Network . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.3 Loss Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
xiv Contents
8.3.1 Initial and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
8.3.2 Derivation of Loss Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
8.3.3 Summarized Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4 Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4.1 Derivatives and Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4.2 Extrapolation of the Price Function in the Integral . . . . . . . . . 377
8.5 Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.5.1 Range of Parameters and Distribution of Samples . . . . . . . . . . 378
8.5.2 Scope of Application of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5.3 Hyper-parameters and Training Results . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5.4 Short Maturity Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.5.5 Calculation Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.5.6 Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Case Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
III Model Calibration and Parameter Estimation 385
9 Model Calibration 387
9.1 Calibration Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.1.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.1.2 Weighted Least-Squares Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.1.3 Regularized Calibration Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.2 Calibration of a Single Underlier Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9.2.1 Black–Merton–Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9.2.2 Local Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.2.3 Constant Elasticity of Variance (CEV) Model . . . . . . . . . . . . 398
9.2.4 Heston Stochastic Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.2.5 Mixing Model — Stochastic Local Volatility (SLV) Model . . . . . 402
9.2.6 Variance Gamma Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
9.2.7 CGMY Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.2.8 Variance Gamma with Stochastic Arrival Model . . . . . . . . . . . 405
9.2.9 L´evy Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
9.3 Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
9.3.1 Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
9.3.2 Multi-Factor Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.3.3 Affine Term Structure Models (ATSMs) . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.3.4 Forward Rate (HJM) Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.3.5 LIBOR Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.4 Credit Derivative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.5 Model Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.6 Construction of the Discount Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.6.1 LIBOR Yield Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.6.2 Constructing the Yield Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
9.6.3 Polynomial Splines for Constructing Discount Curves . . . . . . . . 444
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Case Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
10 Filtering and Parameter Estimation 464
10.1 Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Contents xv
10.1.1 Construction of p(xk|z1:k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
10.2 Likelihood Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
10.3 Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
10.3.1 Underlying Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
10.3.2 Posterior Estimate Covariance under Optimal Kalman Gain and
Interpretation of the Optimal Kalman Gain . . . . . . . . . . . . . 478
10.4 Non-Linear Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.5 Extended Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.6 Unscented Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
10.6.1 Predict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10.6.2 Update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.6.3 Implementation of Unscented Kalman Filter (UKF) . . . . . . . . . 487
10.7 Square Root Unscented Kalman Filter (SR UKF) . . . . . . . . . . . . . . 498
10.8 Particle Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
10.8.1 Sequential Importance Sampling (SIS) Particle Filtering . . . . . . 503
10.8.2 Sampling Importance Resampling (SIR) Particle Filtering . . . . . 503
10.8.3 Problem of Resampling in Particle Filter and Possible Panaceas . . 514
10.9 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
10.9.1 History of MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
10.9.2 The Metropolis-Hastings Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
10.9.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
10.9.4 Convergence Diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
IV Appendices 545
A Interest Rate Definitions 547
A.1 Borrowing and Lending Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
A.2 Forward Rate Agreement (FRA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
A.2.1 Simple (Simply Compounded) Forward Rate . . . . . . . . . . . . . 549
A.2.2 Simple Spot Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
A.2.3 Continuously Compounded Forward Rate . . . . . . . . . . . . . . 549
A.2.4 Continuously Compounded Spot Rate . . . . . . . . . . . . . . . . 550
A.2.5 Instantaneous Forward Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
A.2.6 Instantaneous Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
A.3 Zero-Coupon Bond Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
A.4 Futures Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
A.5 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
A.5.1 Terms and Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
B Arbitrage Restrictions on Option Premiums 553
B.1 Simple No-arbitrage Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
C Derivative Approximation by Finite Differences in Higher Dimensional
Case 555
C.1 Derivative Approximation by Finite Differences: Generic Approach in
k-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
C.1.1 Calculating Coefficients ci1,i2,...,ik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
C.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
xvi Contents
C.2.1 One-dimensional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
C.2.2 Two-dimensional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
C.2.3 Higher-dimensional Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
D Derivation of Characteristic Function 564
D.1 Exponential Distribution — Characteristic Function of Exponential
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
D.2 Heston Model — Characteristic Function of the Log Asset Price . . . . . . 566
E Evaluation of the PIDE 572
E.1 Split of the Integral in the PIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
E.2 Pre-calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
E.3 Numerical Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
F Optimization and Optimization Methodology 575
F.1 Converting ML into Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
F.2 The Major Issue in Learning Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
F.3 Zero-order or Gradient-free Routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
F.3.1 Grid Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
F.3.2 Gradient-free Routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
F.4 Gradient-based Routines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
F.4.1 Gradient Descent Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
F.5 Second-Ordered Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
F.5.1 Using Unconstrained Optimization for Linear Constrained Input . . 591
F.6 Trust Region Methods for Constrained Problems . . . . . . . . . . . . . . 593
F.7 Expectation–Maximization (EM) Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Bibliography 595
京公网安备 11010802022788号
