[转帖]一个有趣的问题

比如说一条直线，每个点被选中的概率是0，但是并不说不可能被选中。

个人感觉考虑一下这个问题还是有意义的。因为对这个题目来说，大家都知道可能必死，但总是会怀有一点侥幸的心理，别人可能会犯错。

如果更改一下条件：“100个球必须被拿完”，结果应该是大家都选20，还是都死。

首先，有一点当一个人必死，他会采取一种什么策略？！

必定会采取一种混合策略，就是随机抽取。这是思考的起点。

那个人必死呢？第5个！

前面四个人必定会把第五个人逼到死地，第5个人也明白这一点，第5个人随机选择如何死，前面四个人就是博弈如何留给自己的生存机会最大。

最后的均衡为17，17，17，16，X（1-33随机），因为有顺序，可以使用逆向归纳法。这是1-3号的存活概率为16/33，4号为15/33。

所以，1-3号的生存几率最大。

这里的要注意的是第4号被迫选择一个与以前不同的数。否则就没有生的机会。

为什么不是后面的人逼第1个人“必死”呢？

为什么不是第一个人“被迫”选择某数呢？

第一个人选择17时最优的。它有先动优势。他确实有可能被逼死，后面的2、3、4号也想把1号逼死，但做不到（起码确定性逼死做不到）

可以看一下，如果第1个人选择21，他的信息时暴露给第2个人的，那么，1号就将自己暴露在一个非常不利的环境下，2-4号就会选择20，五号就会被迫在1-19中选择，则1、5号处死。所以1号不会这样做，会选择一个更小的数。

1号选择一个<20的数后，2号没有动力选择一个偏离很大的数（因为这个游戏偏离大会死），只会选择+1或-1，取决于那个死的概率小一些，再考虑这些的时候，又必须逆向考虑，1号必须考虑2-4号的选择，2号必须考虑3、4号的选择，... ...只有5号没得选择，因为前面是只有连着的两个数（且表示为N，N+1），所以5号必死，他也非常明白这一点，会随机选择一个数，来决定整个游戏的命运，但决定不了他自己的命运。

下面决定的就是1号会选择一个什么数，他仍然不会选择一个太大或太小的数，因为那样仍然是自己处于不利的地位（2-4号肯定不会留情面的），100/6=16.7（为什么除以6？因为5号会随机选择一个数，对1号来说要尽可能的靠近中央，2-4好也是如此，而且正因为2-4号如此，1号才如此... ...），最终必然是在16、17种选择的问题。

对16、17进行概率的计算之后，就得出了3个人选择17，第四个人选择16时，为均衡的状态，第4号虽然选择16不及前三个人选择17生存的机会大，但是若选择17则整个游戏的人必死（包括他自己）！第3号没有动力选择16，因为计算概率可知生存机会不如17。

所以选择为17、17、17、16、X（1-33随机），1-3号生存机会最大。

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以下是引用masquake在2005-5-9 7:44:08的发言：

第一个人选择17时最优的。它有先动优势。他确实有可能被逼死，后面的2、3、4号也想把1号逼死，但做不到（起码确定性逼死做不到）

可以看一下，如果第1个人选择21，他的信息时暴露给第2个人的，那么，1号就将自己暴露在一个非常不利的环境下，2-4号就会选择20，五号就会被迫在1-19中选择，则1、5号处死。所以1号不会这样做，会选择一个更小的数。

1号选择一个<20的数后，2号没有动力选择一个偏离很大的数（因为这个游戏偏离大会死），只会选择+1或-1，取决于那个死的概率小一些，再考虑这些的时候，又必须逆向考虑，1号必须考虑2-4号的选择，2号必须考虑3、4号的选择，... ...只有5号没得选择，因为前面是只有连着的两个数（且表示为N，N+1），所以5号必死，他也非常明白这一点，会随机选择一个数，来决定整个游戏的命运，但决定不了他自己的命运。

下面决定的就是1号会选择一个什么数，他仍然不会选择一个太大或太小的数，因为那样仍然是自己处于不利的地位（2-4号肯定不会留情面的），100/6=16.7（为什么除以6？因为5号会随机选择一个数，对1号来说要尽可能的靠近中央，2-4好也是如此，而且正因为2-4号如此，1号才如此... ...），最终必然是在16、17种选择的问题。

对16、17进行概率的计算之后，就得出了3个人选择17，第四个人选择16时，为均衡的状态，第4号虽然选择16不及前三个人选择17生存的机会大，但是若选择17则整个游戏的人必死（包括他自己）！第3号没有动力选择16，因为计算概率可知生存机会不如17。

所以选择为17、17、17、16、X（1-33随机），1-3号生存机会最大。

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3，4，5（5还要看情况）有占优策略，就是前面被取走的球的数字的平均值（取整）。所以三号没有激励取选择16（因为前面的人可能会犯错误）。

我觉得5个人都必须假定不会犯任何错误，这样5号才会有随机的选择。否则，5号会选择一个均值，但5号明白前面的人不会犯错，他做什么都是徒劳的。而且这个均衡还必须是一个“纳什均衡”，没有人有动力改变，否则5号还是会选择均值。

虽然有先后，但还是必须是“纳什均衡”，因为5号！

17、17、17、16、X（随机1-33）是一个这样的均衡。

以下是引用masquake在2005-5-9 22:01:52的发言：

我觉得5个人都必须假定不会犯任何错误，这样5号才会有随机的选择。否则，5号会选择一个均值，但5号明白前面的人不会犯错，他做什么都是徒劳的。而且这个均衡还必须是一个“纳什均衡”，没有人有动力改变，否则5号还是会选择均值。

这个分析也有道理，不过假设更强了一些。

“1.他们都是很聪明的人”

理性的假设在这里已经给出来了。

有点难.