投标博弈

。诚然，会有很多混合策略均衡，但一般情况下，分析一个多方博弈，如果各方的策略集和收益函数相同的话，给出所有参与者使用相同策略的那个均衡。
现在假设要找的是各方相同策略的均衡，既大家的策略都是(x,1-x), 其中x 是投标的概率，1-x 是不投标的概率，我来说一下我给的以上答案的逻辑，请楼主指点一下算式为什么错了。混合策略均衡的要求就是均衡点的混合策略的各个存策略的期望收益相等(如果不相等的话那期望收益低的那个策略就不会被选择)。在这个博弈里，不投标的期望收益是0，没有成本也没有收益，所以如果用混合策略， 那投标收益必须为0。既 投标的期望收入-成本=0。如果是5家企业，那我的竞争对手是不是四个人，我选择投标，那我就面临以下几种情况：

• 其他四家都不投标， 概率是 (1-x)^4, 这个情况下，我是唯一投标的所以确定中标，我的收益就是100；
• 其他四家有三家不投标一家投，概率是 (1-x)^3*x。不管你怎么排列组合，这个是确定的，比如说，四个盒子，每个盒子有10个球，黑的6个白的4个，从每个盒子里你只能拿一个球，这样拿出来的四个球，有三个黑的和一个白的的概率就是 (6/10)^3*(4/10). 在这个情况下，因为加上我有2个人投标， 那我中标的概率就是1/2，中标的收益是70。
• 其他四家有两家不投标两家投，概率是 (1-x)^2*x^2。在这个情况下，因为加上我有3个人投标， 那我中标的概率就是1/3，中标的收益是60。
• 其他四家有一家不投标三家投，概率是 (1-x)*x^3。 在这个情况下，因为加上我有4个人投标， 那我中标的概率就是1/4，中标的收益是55。
• 其他四家都投标，概率是 x^4。 在这个情况下，因为加上我有5个人投标， 那我中标的概率就是1/5，中标的收益是52。
  
  

所以投标的期望收益应该就是：100*(1-x)^4+(70*x*(1-x)^3)/2+(60*(x^2)*(1-x)^2)/3+(55*(x^3)*(1-x))/4+(52*x^4)/5-15=0。
我真的看不出以上的分析哪里错了，愿楼主详细指点，谢谢。

请问楼主这道题寻找混合策略均衡我们首先要把握的逻辑是什么？也请楼主详细指教为什么算式是错的，那对的算式应该是什么样的，在相同策略下为什么需要并且如何去考虑组合的数量？还有楼主如果非要寻找不同策略的混合，我觉得你可以从下面入手，设5个企业策略分别是(x1,1-x1),(x2,1-x2),(x3,1-x3),(x4, 1-x4),(x5,1-x5),然后列出你认为是对的算式，这个情况下你还可以列出所有的排列组合，然后再求解，你有5个未知数和五个算式，应该可以解出来了。我已经给出我认为是对的(其实是错了，楼主英明)一个混合策略均衡了，接下来的更难的任务就交给楼主了。

sailorwoods 发表于 2012-11-10 10:51
请问楼主这道题寻找混合策略均衡我们首先要把握的逻辑是什么？也请楼主详细指教为什么算式是错 ...

经计算，
有1家企业投标时，投标企业的期望收益是85
有2家企业投标时，投标企业的期望收益是20
有3家企业投标时，投标企业的期望收益是5
有4家企业投标时，投标企业的期望收益是-1.25
有5家企业投标时，投标企业的期望收益是-4.6

因此纯纳什均衡是三家企业投标，两家企业不投标。


混合策略纳什均衡可能有多个，算起来太繁琐.我只算了一个典型的混合策略纳什均衡:五家企业使用相同的混合策略.
算法：
假设其中四家企业选择相同的混合策略使得第五家企业无论怎么选择期望收益都相同.
四家企业共有16种排列:(1表示投标,0表示不投标,右边表示投标人数)
1        1        1        1        4
0        1        1        1        3
1        0        1        1        3
1        1        0        1        3
1        1        1        0        3
0        0        1        1        2
0        1        0        1        2
1        0        0        1        2
0        1        1        0        2
1        0        1        0        2
1        1        0        0        2
0        0        0        1        1
0        0        1        0        1
0        1        0        0        1
1        0        0        0        1
0        0        0        0        0

设其中四家企业选择相同的混合策略,选投标的概率为A1,那么不投标的概率为1-A1
当第五家选择投标与不投标的期望收益相同时,达到均衡,即期望收益为0时.
0=A1^4*-4.6+A1^3*(1-A1)*4*-1.25+A1^2*(1-A1)^2*6*5+A1*(1-A1)^3*4*20+(1-A1)^4*85
或
0=A1^4*10.4+A1^3*(1-A1)*4*13.75+A1^2*(1-A1)^2*6*20+A1*(1-A1)^3*4*35+(1-A1)^4*100-15
用电子表格解得A1=0.762139680486
即，当五人选择的混合策略都是投标概率0.762139680486时，达到纳什均衡

2.其他四家有三家不投标一家投，概率是 (1-x)^3*x。
--------------------------------------------------
这个错了,应该是4*(1-x)^3*x,因为有4种组合都是(1-x)^3*x
0        0        0        1        
0        0        1        0        
0        1        0        0        
1        0        0        0        

小三真子的圣衣 发表于 2012-11-10 22:03
2.其他四家有三家不投标一家投，概率是 (1-x)^3*x。
-------------------------------------------------- ...

大哥，有四个组合，那每个组合被碰到的概率是不是1/4？难道一个投标人一次得面对四个组合16个对手？

sailorwoods 发表于 2012-11-11 11:25
大哥，有四个组合，那每个组合被碰到的概率是不是1/4？难道一个投标人一次得面对四个组合16个对手？

先简化后看只有2人时的情况,有四种组合
1 1
1 0
0 1
0 0
出现(1 1)的概率X^2;
出现(1 0)的概率X*(1-X);
出现(0 1)的概率(1-X)*X;
出现(0 0)的概率(1-X)^2.

概率和:X^2+X*(1-X)+(1-X)*X+(1-X)^2=1
化简为:X^2+2*X*(1-X)+(1-X)^2=1

你这再看不懂的话,我就不解释了.

小三真子的圣衣 发表于 2012-11-11 13:39
先简化后看只有2人时的情况,有四种组合
1 1
1 0

我错了，是这个情况。看来我得好好补习概率了。

sailorwoods 发表于 2012-11-11 14:02
建议你相对系统地学习博弈论，你也不用解释了，我真的不懂你的意思。

见意你补习高中概率

小三真子的圣衣 发表于 2012-11-11 16:06
见意你补习高中概率

我想我是错了哈哈，我二了！谢谢楼主指点，错误很低级！向楼主道歉！

sailorwoods 发表于 2012-11-11 15:26
我想我是错了哈哈，我二了！谢谢楼主指点，错误很低级！向楼主道歉！

没关系,我有时也出错