2×2博弈的纳什均衡的自动求解程序

whe58 发表于 2013-1-26 23:44

请教是怎么增加矩阵的行列的?我用时只有2*2

小三真子的圣衣 发表于 2013-1-27 19:21
请教是怎么增加矩阵的行列的?我用时只有2*2

你把鼠标放在相应的地方会有英文显示提示你做什么。
你首先创建一个新的博弈表（table）——左上角的方格按钮——然后在新的矩阵中揿局中人左边的方格按钮就能增加一个策略。
总之，每个按键都有说明，你只要把鼠标放上去就能看到。

whe58 发表于 2013-1-27 20:33
你把鼠标放在相应的地方会有英文显示提示你做什么。
你首先创建一个新的博弈表（table）——左上角的方格 ...

谢谢!

whe58 发表于 2013-1-27 20:33
你把鼠标放在相应的地方会有英文显示提示你做什么。
你首先创建一个新的博弈表（table）——左上角的方格 ...

我试了试,这软件,确实比我编的好多了.能解一些题.不过我发现在解一些题的时候要出毛病.
例如此博弈:
三个人的混合策略纳什均衡

A,B,C三个人，各有2个策略：A1,A2,B1,B2,C1,C2
收益矩阵如下
C1          B1           B2               C2      B1      B2  
A1     (4,5,3)       (3,2,5)           A1  (4,6,2)  (5,3,4)
A2     (5,3,2)       (5,4,4)           A2  (4,2,6)  (4,3,5)




我人工的解法是:

设A选A1的概率为x,设B选B1的概率为y，设C选C1的概率为z。

令C选C1的期望等于选C2的期望，有：
3xy+5x(1-y)+2(1-x)y+4(1-x)(1-y)=2xy+4x(1-y)+6(1-x)y+5(1-x)(1-y)
化简:
3xy+5x-5xy+2y-2xy+4(1-x-y+xy)=2xy+4x-4xy+6y-6xy+5(1-x-y+xy)
-4xy+5x+2y+4-4x-4y+4xy=-8xy+4x+6y+5-5x-5y+5xy
x+4-2y=-3xy-x+y+5
2x-3y+3xy=1

令B选B1的期望等于选B2的期望，有：
5xz+6x(1-z)+3(1-x)z+2(1-x)(1-z)=2xz+3x(1-z)+4(1-x)z+3(1-x)(1-z)
化简:
5xz+6x-6xz+3z-3xz+2(1-x-z+xz)=2xz+3x-3xz+4z-4xz+3(1-x-z+xz)
-4xz+6x+3z+2-2x-2z+2xz=-5xz+3x+4z+3-3x-3z+3xz
-2xz+4x+z+2=-2xz+z+3
4x=1
x=1/4

那么，2x-3y+3xy=1，变成:
2*1/4-3y+3*1/4*y=1
解得y=-1/9

y为负数，说明C选混合策略是达不到均衡的，可能采用了纯策略。
当C采用纯策略C1时，A会改变为纯策略A2，达不到均衡。
当C采用纯策略C2时，A可能会改变为纯策略A1，要使A不改变策略，只能是当B选择纯策略B1时。

检验：
当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，B选纯策略B1时，C选C1、C2的期望分别为：
C1：3*1/4+2*3/4=9/4
C2：2*1/4+6*3/4=20/4
C选C2的期望更大，C不会改变策略。
当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，C选纯策略C2时，B选B1、B2的期望分别为：
B1：6*1/4+2*3/4=3
B2：3*1/4+3*3/4=3
B不会改变策略。
综上所述，当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，B选纯策略B1时，C选纯策略C2时，达到均衡。


另一种解法:
当C选择纯策略C1时,C1--->A2--->B2--->C2,无均衡
当A选择纯策略A1时,A1--->B1--->C1--->A2,无均衡
当A选择纯策略A2时,A2--->B2--->C2--->A1,无均衡

当B选择纯策略B2时,B2--->A1--->C1--->A2--->C2--->A1,形成循环
因此,B选择纯策略B2,可能形成三方的均衡.
设A1的概率为x,令:
5x+4(1-x)=4x+5(1-x)
解得:x=1/2
设C1的概率为y,令:
3y+5(1-y)=5y+4(1-y)
解得:y=1/3
检验:
B选择B2的期望为:2*1/2*1/3+3*1/2*2/3+4*1/2*1/3+3*1/2*2/3=3
此时B改变策略选B1的期望为:5*1/2*1/3+6*1/2*2/3+3*1/2*1/3+2*1/2*2/3=4
因此B会改变策略选B1。
达不到均衡。


当C选C2，A选A1是乎优于A2，但是当B选择纯策略B1时,A无论选什么策略,其收益都是4，可能存在均衡。
设A选A1的概率为x，令B选B1、B2的期望相等，有：
6x+2(1-x)=3x+3(1-x)
解得x=1/4
检验：
当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，B选纯策略B1时，C选C1、C2的期望分别为：
C1：3*1/4+2*3/4=9/4
C2：2*1/4+6*3/4=20/4
C选C2的期望更大，C不会改变策略。

即：
当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，B选纯策略B1时，C选纯策略C2时，达到均衡。

此解法不能排除三人都用混合策略达到均衡的可能性。

小三真子的圣衣 发表于 2013-1-27 22:54
我试了试,这软件,确实比我编的好多了.能解一些题.不过我发现在解一些题的时候要出毛病.
例如此博弈:
...

你输入的支付有误：题目中的C实际上是Player1，即红色的。

whe58 发表于 2013-1-27 20:33
你把鼠标放在相应的地方会有英文显示提示你做什么。
你首先创建一个新的博弈表（table）——左上角的方格 ...

再如这题:
投标博弈
有一个招标项目，可能投标的企业有五家。
已知条件如下：
1.如果有企业投标，最终必有一家企业得标。
2.每家企业中标概率一样。
3.每家企业选择投标的相关测算、考察等种种支出相同，为15。
4.最终得标企业的收益如下：
如有1家企业投标，最终得标收益为100
如有2家企业投标，最终得标收益为70
如有3家企业投标，最终得标收益为60
如有4家企业投标，最终得标收益为55
如有5家企业投标，最终得标收益为52

问题：求所有的纳什均衡。



软件就漏算了一组混合策略均衡
解:
经计算，
有1家企业投标时，投标企业的期望收益是85
有2家企业投标时，投标企业的期望收益是20
有3家企业投标时，投标企业的期望收益是5
有4家企业投标时，投标企业的期望收益是-1.25
有5家企业投标时，投标企业的期望收益是-4.6

假设其中四家企业选择相同的混合策略使得第五家企业无论怎么选择期望收益都相同.
四家企业共有16种排列:(1表示投标,0表示不投标,右边表示投标人数)
1        1        1        1        4
0        1        1        1        3
1        0        1        1        3
1        1        0        1        3
1        1        1        0        3
0        0        1        1        2
0        1        0        1        2
1        0        0        1        2
0        1        1        0        2
1        0        1        0        2
1        1        0        0        2
0        0        0        1        1
0        0        1        0        1
0        1        0        0        1
1        0        0        0        1
0        0        0        0        0

设其中四家企业选择相同的混合策略,选投标的概率为A1,那么不投标的概率为1-A1
当第五家选择投标与不投标的期望收益相同时,达到均衡,即期望收益为0时.
0=A1^4*-4.6+A1^3*(1-A1)*4*-1.25+A1^2*(1-A1)^2*6*5+A1*(1-A1)^3*4*20+(1-A1)^4*85
或
0=A1^4*10.4+A1^3*(1-A1)*4*13.75+A1^2*(1-A1)^2*6*20+A1*(1-A1)^3*4*35+(1-A1)^4*100-15
用电子表格解得A1=0.762139680486
即，当五人选择的混合策略都是投标概率0.762139680486时，达到纳什均衡

不过这软件还是很棒的.人工要求出所有纳什均衡是很花时间的

whe58 发表于 2013-1-27 23:40
你输入的支付有误：题目中的C实际上是Player1，即红色的。

确实,我输入有误.但我现在改正确以后,还是计算不出来均衡.

上图中C是Player1,B是Player2,A是Player3
人脑计算的结果是:
当A选混合策略A1=0.25，A2=0.75，B选纯策略B1时，C选纯策略C2时，达到均衡。

whe58 发表于 2013-1-27 23:40
你输入的支付有误：题目中的C实际上是Player1，即红色的。

我改成,Player1是A,Player2是B,Player3是C时,还是计算不出来.所以不能完全依靠软件.

小三真子的圣衣 发表于 2013-1-28 00:25
我改成,Player1是A,Player2是B,Player3是C时,还是计算不出来.所以不能完全依靠软件.

说明无解？

whe58 发表于 2013-1-28 10:31
说明无解？

这题的均衡我上面已经解出来了.这题是论坛里的题,也有网友和我解的是一样的.