【难题】两个人玩游戏,可选择1至10元中的整数元

看到被推荐了真有点不好意思。因为今天看书才知道每一个normal form game里面都存在一个纳什均衡。本题目中不存在pure NE，但是存在mixed NE，也就是说混合策略。我只是否定了pure NE，至于mixed NE我暂时无法求得。实在惭愧

whe58 发表于 2013-7-21 09:18
我来唱点反调：
首先确定二人的收益函数。
Rx=2X  (X=Y)

(10,10)时,都会有人想变成9

FCBMessi 发表于 2013-7-22 12:54
题目原来的意思就是这样？如果A选7，B选3,7不是最大数，3不是最小数，两个又不同，请问两人的收益是多少。
...

如果A选7，B选3时,A收益7/2,B收益3*2

纯战略纳什均衡不存在，应该存在混合战略纳什均衡

徐顺利 发表于 2013-7-23 23:25
纯战略纳什均衡不存在，应该存在混合战略纳什均衡

是的.混合策略均衡我已求出.等两天公布

将两个人的收益矩阵列出来，然后给定其中一个人的选择的混合策略（p1,p2,...,p10），让另外一个人的各种策略期望收益相等，再加上概率合为1，一共是十个方程，用软件求解之后是（-1.6970    1.5152    0.5051    0.2525    0.0909    0.1111    0.0794    0.0595    0.0463    0.0370），第一个概率是负的，这怎么办呢？还是思路有问题？求大牛解释啊

小三真子的圣衣 发表于 2013-7-24 23:38
是的.混合策略均衡我已求出.等两天公布

我就是列了一下收益矩阵，看看没有纯战略纳什均衡，混合的列的方程挺麻烦的，都是矩阵，静待答案

解:
首先,此博弈无纯策略纳什均衡.劣势策略是选1、2元。

设：选10至3元的概率分别为B2至B9（我电子表格算的，这样设未知数方便写算式）
那么：
选10的纯策略期望为：=5
选9的纯策略期望为：=B2*9*2+(1-B2)*9/2
选8的纯策略期望为：=(B2+B3)*8*2+(1-(B2+B3))*8/2
选7的纯策略期望为：=(B2+B3+B4)*7*2+(1-(B2+B3+B4))*7/2
选6的纯策略期望为：=(B2+B3+B4+B5)*6*2+(1-(B2+B3+B4+B5))*6/2
选5的纯策略期望为：=(1-B7-B8-B9)*5*2+(B7+B8+B9)*5/2
选4的纯策略期望为：=(1-B8-B9)*4*2+(B8+B9)*4/2
选3的纯策略期望为：=B9*3/2+(1-B9)*3*2

解法1:
因均衡时各纯策略的期望相等，因此有方程组：
5=B2*9*2+(1-B2)*9/2
5=(B2+B3)*8*2+(1-(B2+B3))*8/2
5=(B2+B3+B4)*7*2+(1-(B2+B3+B4))*7/2
5=(B2+B3+B4+B5)*6*2+(1-(B2+B3+B4+B5))*6/2
5=(1-B7-B8-B9)*5*2+(B7+B8+B9)*5/2
5=(1-B8-B9)*4*2+(B8+B9)*4/2
5=B9*3/2+(1-B9)*3*2
1=B2+B3+B4+B5+B6+B7+B8+B9
再解出来即可。（我没解过，计算结果应该和解法2相同）
（当博弈人数为2人以上时，就极难用此方解出了）


解法2:
我用了电子表格编算式递推的方法，
先假设选10到3的概率都为0.125
此时各纯策略的期望分别为：
5      最小期望
6.1875
7
7.4375
7.5    最大期望
7.1875
6.5
5.4375

最大期望与最小期望的差值为：2.5
因此，应该减少选择最小期望选项（也就是选10）的概率；增加选择最大期望选项（也就是选6）的概率。

例如：将选10到3的概率变为：
0.105
0.125
0.125
0.125
0.145
0.125
0.125
0.125
此时各纯策略的期望分别为：
5       最小期望
5.9175
6.76
7.2275
7.32    最大期望
7.1875
6.5
5.4375
最大期望与最小期望的差值为：2.32  （差值缩小了）

经过本人的设置，电子表格能半自动化的递推计算，逐步缩小差值。此法相当于是在模拟博弈，在博弈中不断达到均衡。
在经过726轮递推后，最大期望与最小期望的差值缩小为：0.00000000000003641532
此时选10到3的概率分别为：
0.037037037037037000000000000000
0.046296296296295100000000000000
0.059523809523808100000000000000
0.079365079365078000000000000000
0.111111111111114000000000000000
0.166666666666669000000000000000
0.277777777777779000000000000000
0.222222222222223000000000000000
各选项的期望分别为：
5.0000000000000000
5.0000000000000000
4.9999999999999900
4.9999999999999700
4.9999999999999600
4.9999999999999700
4.9999999999999900
5.0000000000000000

换算成分数,正解应该是这样的:
达到均衡时两人都采用了相同的混合策略,即选10到3的概率分别为：
   1/27
   5/108
   5/84
   5/63
   1/9  
   1/6  
   5/18
   2/9  

jx597808610 发表于 2013-7-25 05:36
将两个人的收益矩阵列出来，然后给定其中一个人的选择的混合策略（p1,p2,...,p10），让另外一个人的各种策略 ...

你方法有问题.首先应该排出劣势策略选1、2。这样就只有8个未知数。答案18楼

小三真子的圣衣 发表于 2013-7-25 19:33
解:
首先,此博弈无纯策略纳什均衡.劣势策略是选1、2元。

大牛啊