理性偏好与效用函数

看事先规定的拓扑？就我有限的拓扑学还是不能理解 书上还举了个实值函数的例子 如f(x)=2,这个值域是闭的 但是逆向却是开的

不知道楼上的大虾能不能帮我解答一下问题 谢谢

表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。

具体条件列在下面：

A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

其中：

e={1，……，1}  e属于n维非负空间；

ｔ属于１维非负空间；

ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；

偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；

怎么证明偏好关系≧的连续性蕴含着非负实数集上的Ａ和Ｂ是闭的？？

本文来自: 人大经济论坛(http://www.pinggu.org) 详细出处参考：http://pinggu.org/bbs/b47i394909p1.html

2）若可以，则若u是连续的，该偏好是否是连续的？

Yes, because for any sequences {x_n}, {y_n}, x_n-->, y_n-->y,

suppose x_n>~ y_n for all n,

utility representation implies u(x_n)>=u(y_n) for all n

continuity of u(.) implies order is preserved in the limit, i.e., u(x)>=u(y)

by utility representation agains, x>~y

Hence >~ is continuous

以下是引用demander在2008-12-11 19:19:00的发言：

看事先规定的拓扑？就我有限的拓扑学还是不能理解 书上还举了个实值函数的例子 如f(x)=2,这个值域是闭的 但是逆向却是开的

不知道楼上的大虾能不能帮我解答一下问题 谢谢

表明如果二元关系≧是成立的,那么定理1.1（就是效用函数存在定理）证明中定义的A与B集都是实数集R上的闭子集。

具体条件列在下面：

A恒等于{t>=0 | t*e≧ x}；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

其中：

e={1，……，1}  e属于n维非负空间；

ｔ属于１维非负空间；

ｘ是任取的一个消费束，属于n维非负空间；

偏好关系≧满足完备、传递、连续、严格单调；

怎么证明偏好关系≧的连续性蕴含着非负实数集上的Ａ和Ｂ是闭的？？

本文来自: 人大经济论坛(http://www.pinggu.org) 详细出处参考：http://pinggu.org/bbs/b47i394909p1.html

I think you can ignore the topology first because MWG and Reny only restrict attention to consumption set X_i as a subset of R^n

for your example, f(x)=2, if f: R->R, then the value of f is just {2}, which is a closed subset of R.

the inverse image of {2} is R, or more formally f^-1({2})= (-00,00), which is both open and closed 

以下是引用demander在2008-12-11 16:51:00的发言：我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续

闭集是开集的补集。每一个关于开集的定理都可以等价地表述为关于闭集的定理。

以下是引用demander在2008-12-11 19:19:00的发言：书上还举了个实值函数的例子 如f(x)=2,这个值域是闭的 但是逆像却是开的

关于非空集X的任意拓扑中，X与空集都既开又闭。

（关于非空集X的离散拓扑中，X的任一子集都既开又闭）

里开集或闭集的规定，要看事先规定的拓扑。