理性偏好与效用函数

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<p>理性偏好与效用函数</p><p>学习高微有一个总结如下：+备选方案集合X有限<span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Þ</span></span></span></span>存在代表偏好的效用函数</p><p>偏好是理性的：（1）<span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ü</span></span>存在代表偏好的效用函数</p><p><font face="Symbol">                          </font>（2）+备选方案集合X有限<span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Þ</span></span></span></span>存在代表偏好的效用函数</p><p>                         （3）+偏好的连续性 <span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Þ</span></span></span></span>存在代表偏好的连续效用函数</p><p><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span lang="EN-US" style="FONT-FAMILY: Symbol; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;"></span></span></span></span>不知大家觉得这样理解对不？有一个问题是对于（3），是否是充要条件，即：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？</p><p>此外，马斯-科奈尔关于（3）的证明推广到X内有两元素相同的情形下，在下没有看懂，不知哪位高手可以指教下啊？</p><p>不胜感激！</p>

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关键词：效用函数 Thorn 不胜感激 连续性 UML 推广 元素

这样理解是对的,我们老师说的

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：（3）+偏好的连续性 Þ存在代表偏好的连续效用函数

设X是有可数开集基的拓扑空间（消费集），“≧”是定义在X上的连续的理性偏好，则存在表达该偏好的连续的效用函数u:X→[-∞,+∞]。

当X是可分连通的拓扑空间时，存在性亦成立。

上面即RED定理。

（偏好的“连续性”的定义是通过拓扑空间的“闭集”来定义的）

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：

不知大家觉得这样理解对不？有一个问题是对于（3），是否是充要条件，即：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？

偏好连续，它对应的效用函数不一定非要连续，这完全取决于你的构造（当然一个满足理性、连续性的偏好一定存在着一个连续的效用函数与之对应）

以下是引用lihaim在2007-10-26 21:31:00的发言：如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的？

将该问题改写一下。

设X是有可数开集基的拓扑空间，函数u:X→[-∞,+∞]。

1）根据u是否可以在X上定义一个理性的偏好？

2）若可以，则若u是连续的，该偏好是否是连续的？

在X上定义“≧”（“前者不会比后者更差”）：即对于任意x,y∈X，当且仅当u(x)≥u(y)，x≧y成立。显然“≧”满足完备性与传递性。

u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u^-1([t,+∞])与集合u^-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。

对于任意y∈X，设u(y)=s，显然有{x∈X|x≧y}={x∈X|u(x)≥s}=u^-1([s,+∞])且{x∈X|y≧x}={x∈X|s≥u(x)}=u^-1([-∞,s])。

由u的连续性，知{x∈X|x≧y}与{x∈X|y≧x}都是X的闭集。故“≧”是连续的。

楼上说“u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u-1([t,+∞])与集合u-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。”

请问 你这个定理是哪里的，我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续

。

[此贴子已经被作者于2008-12-11 16:53:19编辑过]

还有这个逻辑还是看不懂啊，为什么是由u的连续性来推“偏好”的连续性？

以下是引用demander在2008-12-11 17:17:00的发言：为什么是由u的连续性来推“偏好”的连续性？

楼主的一个问题是“如果存在代表偏好的连续效用函数，此偏好是否一定是理性且连续的”。

demander 发表于 2008-12-11 16:51 楼上说“u是连续的，指的是，对于任意t∈[-∞,+∞]，集合u-1([t,+∞])与集合u-1([-∞,t])都是X的闭集（即[t,+∞]与[-∞,t]这两个闭集的原象都是X的闭集）。” 请问 你这个定理是哪里的，我只在书上看到过“连续性与其逆象”定理：里面讲的都是开集（球）的逆象是开的<——>函数连续。

这里开集或闭集的规定，要看事先规定的拓扑。

另外，关于开集的命题与关于闭集的命题具有“对偶性”（每一个关于开集的命题都可以转换为一个关于闭集的命题）。

上面所说的u:Ω→[-∞,+∞]的连续性，已经默认了[-∞,+∞]上的拓扑。比如，常见的度量拓扑。

*********************
偏好连续性与效用函数存在性。
   
设Ω是消费集，τ是Ω上的一个拓扑，且τ具有可数基β，即τ中任意元素都可以表示为β的某个子集的并集，且β中各元素可用自然数标识。
设≿是Ω上的一个偏好（由此可以进一步定义≻）。∀x∈Ω：定义W(x)={a∈Ω|x≻a}，B(x)={a∈Ω|a≻x}。若≿是连续的，则∀x∈Ω：W(x)∈τ且B(x)∈τ。
∀x∈Ω：定义γ(x)={A∈β|A⊆W(x)}，则必有∪γ(x)=W(x)。设γ(x)中各元素的标识集（自然数集的一个子集）是M(x)，定义u(x)=∑i∈M(x)0.5^i，且若M(x)=∅，u(x)=0。
∀x,y∈Ω：y≿x⇒W(x)⊆W(y)⇒γ(x)⊆γ(y)⇒M(x)⊆M(y)⇒u(y)≥u(x)，而x≻y⇒M(y)⊂M(x)⇒u(x)>u(y)。
从而u:Ω→R是表达≿的一个效用函数。