Fourier Transform的问题

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问一个比较懒的问题，对于傅里叶变换来说是不是只要f(Y)是可积的就可以得到第一个等式的傅里叶变换F(u),而傅里叶逆变换则可以得到f(x),这里的前提是f(Y)可积。而如果f(Y)是pdf的话F(u)就变为了特征函数，所以可以说特征函数是傅里叶变换的一个特殊情况。可以这样理解吗？

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关键词：transform Fourier Trans form four

特征函数本来的定义就是pdf的inverse Fourier transform（or Fourier transform），其实Fourier transform就是一种分析方法，他是将一个函数在frequency domain展开，在freq domain里面有很多更好的性质，例如卷积性质等等。你可以简单理解为是characteristic  function是pdf的另一种domain里面的表达形式。因此Fourier transform就是从中转换的工具而已。

特征函数就是山寨版的傅立叶变换
只不过正版的是exp(-2pi ix)
山寨版的是exp(ix)

傅里叶变换其实是Hilbert空间里的inner product，所以要求的是平方可积