数分答疑

（0《a《b)

貌似回复对TEX支持不太好，上图吧还是

我们可以求连续函数的极限，即求
\[\begin{align} \lim_{x\to \infty}(a^x+b^x)^\frac{1}{x} \end{align}\]

这个极限和数列极限是一样的（老师肯定讲过这个，自己找去。。。）先对（1）式取对数并求极限，有（用了洛必达法则）
\[\begin{align} \lim_{x\to \infty}\frac{\ln (a^x+b^x)}{x} &=\lim_{x\to \infty} \frac{a^x \ln a+b^x \ln b}{a^x+b^x}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{a^x\ln a}{a^x+b^x}+\lim_{x\to \infty}\frac{b^x\ln b}{a^x+b^x}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{\ln a}{1+(\frac{b}{a})^x}+\lim_{x\to \infty}\frac{\ln b}{1+(\frac{a}{b})^x}\\ &=0+\ln b\\ &=\ln b \end{align}\]
所以（1）式的极限为b。

好吧，表示看反了，用0<b<a做的，其实0<a<b是一样的，只是将a和b换一下就好，结果就是b了。。。

谢谢

谢谢，这一步怎么得来的。

海边的人 发表于 2015-3-26 08:52
谢谢，这一步怎么得来的。

分子分母都求导就好了，因为分子是趋于无穷的，而如果a，b中有一个大于1,则分母趋于正无穷，若a,b都小于1，a^x+b^x趋于0,则分子趋于负无穷。所以洛必达法则是可以用的

谢谢