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1共4道

这些题都是极限中很技巧的题。
试解第二题:分子分母同乖以\[2\sin \frac{x}{2^{n}}\]
                                        \[=\frac{2\sin \frac{x}{2^{n}}\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}....\cos \frac{x}{2^{n}}}{2\sin \frac{x}{2^{n}}}\]
                                       \[=\frac{\sin x}{2^{n}\sin \frac{x}{2^{n}}}\]



再求极限,\[\rightarrow \frac{\sin x}{x}\left ( n \to \propto \right )\]

继续发言，还有3道

第4题试解:\[\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x-1}=2\cos \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}\sin \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}\]
             因为 cos()为一有界量。所以考虑sin()在\[x\rightarrow \infty \]明的值
             \[\sin \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}=\sin \frac{2}{2\left ( \sqrt{x+1} +\sqrt{x-1}\right )}\sim \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}},\left ( x\rightarrow \infty \right )\]
             原式=2*有界量*无帘小量=0，\[\left ( x\rightarrow \infty \right )\]

真不好意思，我觉得这悬不悬赏意义也不大了。

对，和差化积公式。

第1题反复利用一个已知结果即可。
\[\because \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}\]\[ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x\cos 2x}{x^{2}}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x+\cos x-\cos x\cos 2x}{x^{2}}=1+\frac{4}{2}\]\[...............\]\[\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x+\cos x-.....+\cos x\cos 2x...\cos \left ( n-1 \right )x-\cos x\cos 2x...\cos \left ( n-1 \right )x\cos nx}{x^{2}}=1+\frac{4}{2}+....+\frac{n^{2}}{2}\]

第3题试解:\[\because e=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{\theta _{n}}{n!n},\left ( \frac{n}{n+1}< \theta _{n}< 1 \right )\]
              \[\therefore n\sin \left ( 2\pi n!e \right )=n\sin \left ( 2\pi \left ( n!+n!\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}+\frac{\theta _{n}}{n}\right ) \right )=n\sin \left ( 2\pi \frac{\theta _{n}}{n} \right )\]
             求极限\[=2\pi \]

史老师的书后面的习题，前后相连的题很多。有时候后面的题一定要看了前面某题的解，才会有所启发。