关于风险中性测度的疑问。

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设有d个资产$S_i(t)$,服从几何布朗运动$dS_i(t)/S_i(t)=a_i(t)dt+b_i(t)dW_t$

$D(t)$是贴现因子$D(t)=\exp\left(-\int_0^tr(t)\,dt\right)$
那么书上有一句话叫做:存在风险中性测度使得每个$D(t)S_i(t)$都是鞅.

我不明白这句话。

这个风险中性测度应该是构造出来的,每个资产$S_i(t)$所对应的"风险的市场价格":$(a_i(t)-r(t))/b_i(t)$都不同,那么根据Girsanov定理,那么变换的测度都不同.

所以应当是:对于每个$S_i$，存在风险中性测度$P_i$,使得$D(t)S_i(t)$是鞅.而不能存在一个统一的风险中性测度.


还有一个问题是上述的风险中性定价的证明我看着是基于$r(t)$是一个确定的函数的,如果$r(t)$也带有随机项$W(t)$,例如Vasicek模型中的利率,是否也能测度变换呢？

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关键词：Vasicek RIGHT left 贴现因子 ASIC

Girsanov theorem 有个 multiple dimensional 的版本， 这里是一个vector 下的变换。 R（t） 的要求是adapted process  所有它可以是driven by the same Brownian motion

1. multi dimensional Girsanov Theorem。一个个单独决定肯定会出现套利机会，而且这里是一个特殊情况，你假设你假设每一个risk factor Si都有单一的Browian motion驱动，互相之间是正交的。更一般的情况dSi(t)/Si(t)=ai(t)dt+Σbij(t)dWjt，这时候market price of risk需要用联立方程决定

例如两个的情况：

a1-r=mpr1*b11+mpr2*b12
a2-r=mpr1*b21+mpr2*b22， mpr=market price of risk

一维的change of measure一个measure对应一个mpr，多维的是一个measure对应一个mpr向量，而不是有很多个measure对应很多mpr。这个跟多维的Girsanov theory是consistent的。这个Hull的书第八版27章讲得还挺不错的，可以一看


2. r是随机的，定价可以变成在风险中性测度下E'(), 求解E'(D(T)*payoff)的问题, 注意E'(D(T))其实是一个T时刻到期的bond 的price（P(t,T))，因此将E'(D(T))提出，剩余的payoff自然会转换到以E'(D(T))为numeraire的测度底下，即Forward measure,E*()。 E'(D(T)payoff)=P(t,T)E*(payoff)。forward measure会有自己的market price of risk，因此payoff里面的underlying asset的drift又会跟着调整。这方面可以去看看基于vasicek 模型的bond option pricing。即D(T)和payoff都是r的函数，而r又是随机的。里面转两次测度。

楼主辛苦了。