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Stochastic Calculus for Finance I

The Binomial Asset Pricing Model

Steven E. Shreve

Contents
1 The Binomial No-Arbitrage Pricing Model 1
1.1 One-Period Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Multiperiod Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Computational Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Probability Theory on Coin Toss Space 23
2.1 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Random Variables, Distributions, and Expectations . . . . . . . . . . 24
2.3 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 State Prices 57
3.1 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Radon-Nikodym Derivative Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Capital Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 American Derivative Securities 82
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Non-Path-Dependent American Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 General American Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 American Call Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 Random Walk 107
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Reflection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Perpetual American Put: An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Interest-Rate-Dependent Assets 130
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Binomial Model for Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Fixed-Income Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 Forward Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.5 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A Proof of Fundamental Properties of Conditional Expectations 161

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