实物期权价值函数推导，急，求大虾帮忙！！！

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最近在研究实物期权，不太理解下面这个式子，求大虾帮忙解释一下，谢谢啦！
图片里这个式子，从左边推到右边，分母上怎么突然多了一个"u"，我用定积分算没有“u”,哪位大虾能帮忙解释一下呢？   注：这个“u”,是布朗运动里的漂移项，难道是实物期权里有什么规定吗？？？如下图

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关键词：实物期权 布朗运动 图片 价值

\[y_t=\mu y_t dt+ \sigma_y y_t dw_t \]
The solution is:


\[ y_t=y_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma_y^2)t+\sigma_y \sqrt{t} z}\] where z is a standard normal.


\[ E((\int_{0}^{\infty} e^{-(r+h)t}h y_t dt) -I ) \]


\[ E((\int_{0}^{\infty} e^{-(r+h)t}h y_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma_y^2)t+\sigma_y \sqrt{t} z} dt) -I ) \]


\[ h y_0 E(( \int_{0}^{\infty} e^{(\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t+\sigma_y \sqrt{t} z} dt) )-I \]


change the order of integral:


\[ h y_0(\int_{0}^{\infty} E(e^{(\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t+\sigma_y\sqrt{t}z} dt))-I \]


\[e^{(\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t+\sigma_y\sqrt{t}z} \] this is a lognormal random variable. The mean and variance of the corresponding normal distribution is \[ N((\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t, \sigma_y^2t)\]


if \[ z \sim N(\mu,\sigma^2)\] then \[ E(e^z)=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}\]
so:

\[ E(e^{(\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t+\sigma_y\sqrt{t}z})\]
\[=e^{(\mu-r-h-\frac{1}{2}\sigma_y^2) t+\frac{1}{2}\sigma_y^2t}\]
\[=e^{(\mu-r-h) t}\]


the original pricing formula is then equal to:


\[ h y_0( \int_{0}^{\infty} e^{(\mu-r-h) t})dt-I \]

let \[ \alpha=\mu-r-h \]


\[=\frac{hy_0}{\alpha}( \int_{0}^{\infty} e^{\alpha t})d\alpha t-I \]


\[=\frac{hy_0}{\alpha}( e^{\alpha \infty}-1)-I \]


assume \[\alpha <0->\mu<r+h\]


\[=-\frac{hy_0}{\alpha}-I \]


\[=\frac{hy_0}{r+h-\mu}-I \]

Chemist_MZ 发表于 2015-9-30 10:07
The solution is:

牛人！请问您这是看得那本书的啊？能推荐一下不？最近再研究实物期权，推导太难了。

tm1954 发表于 2015-9-30 20:19
牛人！请问您这是看得那本书的啊？能推荐一下不？最近再研究实物期权，推导太难了。

I derived myself. This is just basic financial math

tm1954 发表于 2015-9-30 20:19
牛人！请问您这是看得那本书的啊？能推荐一下不？最近再研究实物期权，推导太难了。

墙裂安利楼主shreve那本书的第二册，那个讲的比较简单而且也讲的非常明白

Chemist_MZ 发表于 2015-9-30 22:44
I derived myself. This is just basic financial math

though basic it is, you don't have to calculate the expectation by normal, since there is a exp-martingale which is used in Girsanov frequently. No offence :)

Olefinic30 发表于 2015-10-1 00:04
though basic it is, you don't have to calculate the expectation by normal, since there is a exp-ma ...

Same thing. Try to be very "basic" :-). I prefer to solve the pricing problem from a distribution perspective. But good point, thanks!

Olefinic30 发表于 2015-10-1 00:01
墙裂安利楼主shreve那本书的第二册，那个讲的比较简单而且也讲的非常明白

tm1954 发表于 2015-10-1 12:21

答主能不能讲的详细些啊，找来了施里夫的书看也没看懂。这个公式里加了两个自然对数的函数，每个分别是什么意思呢？

最后的结果里，y0是作为常数吧？为什么有些文章中依然写成y(t)的形式，难道仍然是跟时间相关的函数吗？应该怎么理解呢？