试求数列极限

证明：数列 \[\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\cdot \cdot \cdot \]收敛，并求其极限。



要求答题采用LATEX文本。

接着``飞行员''证明极限的存在性。为此首先考虑确定迭代关系的函数
\[f(x)=\sqrt{7-\sqrt{7+x}},\qquad x\in[-7,7].\]
容易看出 $f(x)$ 是 $[-7,7]$ 上的递减函数, 且 $0\le f(x)\le 3$. 为了证明迭代序列 $a_n$ 的收敛性, 取$b_k=a_{2k},b_0=a_0=0$(或$b_k=a_{2k+1}, b_0=a_1=\sqrt{7}$),
则 $b_n=f(b_{n-1})$, 并有
\begin{align*}
  f'(x)&=\dfrac1{2\sqrt{7-\sqrt{7+x}}}\cdot\dfrac{-1}{2\sqrt{7+x}},\\
  |f'(x)|&\le\dfrac1{2\sqrt{7-\sqrt{7+6}}}\cdot\dfrac1{2\sqrt{7-6}}\le \dfrac14.\qquad |x|\le 6.
\end{align*}
利用上述对 $f'$ 的估计, 对 $c=1/4$ 有
\[
  |b_{k}-2|\le |f(b_{k-1})-f(2)|\le c|b_{k-1}-2|\le \cdots\le c^k|b_0-2|.
\]
所以 $b_k$ 收敛于 2, $a_n$ 的收敛性也由此可得。

事实上, 由对 $f$ 的导数的估计可知, $f$ 在 $[-6,6]$ 上是一个压缩映像, 所以 2 是 $f$ 唯一的不动点。

a_n+1 =  sqrt (7- sqrt( 14- a_n^2)  然后就可以算出极限了 我要是没算错的话是 sqrt( (13-sqrt(29))/2)

话说我不会LATEX，一直想学来着

jiejiyongren17 发表于 2015-11-15 18:07
a_n+1 =  sqrt (7- sqrt( 14- a_n^2)  然后就可以算出极限了 我要是没算错的话是 sqrt( (13-sqrt(29))/2)

明显a4和a3就不符合你这个式子，没这么简单啦

\[ a_0 = 0, a_1 = \sqrt{7}, a_n = \sqrt{7 - \sqrt{7 + a_{n-2}}}, n \geq 2 \]
若存在极限$a = \lim_{n \to \infty} a_n$，求解方程
\[ x = \sqrt{7 - \sqrt{7 + x}} \Leftrightarrow x^4 - 14x^2 - x + 42 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+3)(x^2-x-7) = 0 \]
有四个解：\[-3， 2，\frac{1+\sqrt{29}}{2} > \sqrt{7}, \frac{1-\sqrt{29}}{2} < 0 \]
而\[ 0 < a_n < \sqrt{7} \approx 2.646, (n > 1) \]
从而数列极限$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$。
严格的数学证明数列收敛暂时没想到。

感谢楼主慷慨分享！