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1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
2. Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.1. Probability Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.2. Stochastic Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1. Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1. Local Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2. Local Martingales which are not Martingales . . . . . . . . . . . 9
6. Total Variation and the Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . 11
6.1. Why we need a Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2. Previsibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3. Lebesgue-Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.1. Elementary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2. Strictly Simple and Simple Processes . . . . . . . . . . . . . . 15
8. The Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.1. Integral for H 2 L and M 2M2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2. Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.3. Covariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.4. Extension of the Integral to L2(M) . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.5. Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.6. Some Important Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9. Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10. Relations to Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.1. The UCP topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.2. Approximation via Riemann Sums . . . . . . . . . . . . . . . 32
11. Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.1. Applications of Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.2. Exponential Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12. L´evy Characterisation of Brownian Motion . . . . . . . . . . . 46
13. Time Change of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.1. Gaussian Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
14. Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
14.1. Change of measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
15. Brownian Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . 53
16. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 56
17. Relations to Second Order PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.1. Infinitesimal Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.2. The Dirichlet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

17.3. The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
17.4. Feynman-Ka˘c Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
18. Stochastic Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
18.1. Signal Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
18.2. Observation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
18.3. The Filtering Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
18.4. Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
18.5. The Unnormalised Conditional Distribution . . . . . . . . . . . 76
18.6. The Zakai Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
18.7. Kushner-Stratonowich Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 86
19. Gronwall’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
20. Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
20.1. Conditional Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
20.2. Conditional Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
21. Discontinuous Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 92
21.1. Compensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
21.2. RCLL processes revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
22. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

 

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