Introduction Computational Finance Without Agonizing Pain

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An Introduction to Computational Finance
Without Agonizing Pain
By Peter Forsyth 2008

The latest edition


Contents
1 The First Option Trade 3
2 The Black-Scholes Equation 3
2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6.1 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.2 Some uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.3 Some more uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 The Risk Neutral World 17
4 Monte Carlo Methods 19
4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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