北大一道微观经济学题目

以下是引用万岁大中华在2005-10-19 15:51:00的发言：

本题试解如下：

该赌博者对于货币的效用函数为U(X)＝ln(x)

由此可见，其对货币的边际效用为MUX＝1/X，为货币拥有量的递减函数。

假定赌博者所拥有的货币数额为M元，而每次赌博者进行一次赌博，如果赢得赌局，可以得到n元，而输掉赌局，则必须出资为2n元，那么对于他公平的赌局，他认为应当每次输的效用和赢的效用必须相等：

那么，输了赌博，所失去的效用为：

∆U＝U（M）－U（M－n）＝lnM－ln(M-n)；

如果赌者羸了赌局，由于赔率为2，庄家必须付给该赌者2n元，那么所得到的效用为：

∆’U = U（M+2n）－U（M）＝ln(M+2n)－lnM

由于输赢的概率相同，我们就不考虑数学期望的问题。

那么，当赌局被认为是公平时，有：

∆U＝∆’U，于是有：lnM－ln(M-n) ＝ln(M+2n)－lnM

那么，当M/(M-n)=(M+2n)/M时，即当M＝2n时，他手中的货币数额为2n元时，他认为参加这样的赌局是公平的。

当M＞2n时，∆’U－∆U = ln(M+2n)－lnM－［lnM－ln(M-n)］＞0；

当M＜2n时，∆’U－∆U＜0；

从而可知，当该赌者拥有的货币数额大于2倍于参与赌博的数额时，他会参与赌博，它该赌博者拥有的货币数额小于2倍于参与赌博的数额时，他不会参与赌博。

题目中并没有说明最少赌注，故而应当认为赌注任意。

另外楼主的讨论是不是误入歧途？我觉得x作为货币量，应该有x>1。

这个赌博显然是公平赌博，因为参赌获得货币数量的期望和不参赌拥有的货币数量相等。

我们要考虑的是参赌获得的效用的期望与不参赌拥有的效用大小的比较，前者大则当参赌，反之不参赌。

设初始拥有t个货币，用n<t个货币参赌，n个货币参赌的效用的期望eu＝1/2ln0+1/2ln2n<0 ，ln0=负无穷。显然eu<lnn，故而不应当参赌。

原题正确！

１　序数效用论下考虑效用大于零还是小于零没意义（效用小于零就２个效用等级之间不能比大小了吗？）

２　三楼的把题目换了。楼主的题目的规则是现下注，在扔硬币。没有说一定要扔下去，直到扔出正面朝上或者朝下为止。楼主的规则是n次伯奴力分布，三楼的貌似改成了超几何分布的规则？

３　２楼的是正解，“恕我直言，第一位朋友把问题简单化了。不错，题目中的对象确实是风险规避者，但是他的不同寻常之处在于当他的财富X<=1时，效用恒为零。”为什么恒为零呢？负的不行吗？题目中规定了恒大于零？－１的效用用等级不是比－３的效用等级高吗？

对２楼的补充下解法，个人认为是多余的，稍稍学过经济学的可以略过下面的内容了。

假设初始财富W1，投注X，则赢了财富为W1+2X,效用为U1=ln(W1+2X)；输了财富为W1-X,效用为U2=ln(W1－X)。由于是五五开的赌博，则期望效用为E(U)=(U1+U2)/2

参与赌博的期望财富为(W1+2X+W1-X)/2 ,期望财富的效用为E(UW)＝ln[(W1+2X+W1-X)/2]

由于E(U)<E(UW),则参与人不会参与赌博。这意味着，参与赌博的期望效用小于赌博结果的财富状况的期望效用。笨蛋才会去赌

在画一个图示，该题就可以满分了