发现：simon and blume(1994)的Euler逆定理不成立

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simon and blume(1994): Mathematics for economists
pp.492, theorem 20.5，该定理是Euler定理的逆定理。但是，好像有问题。


Let x=( x1...xn).
欧拉定理：If f is homogeneous of degree k on the positive orthant,  then x1*f1(x)+...+xn*fn(x)=k*f(x) for all x.

欧拉定理的逆定理：If x1*f1+...+xn*fn=k*f  for all x on the positive orthant, then f is homogeneous of degree k.


当x1*f1+...+xn*fn=k*f的时候（fn表示对xn求偏导数），simon and blume 说该函数一定是k
次齐次函数。事实上，假设f是m次齐次，m完全可以不等于k。

证明：因为x1*f1+...+xn*fn=k*f，将x换成tx，则f(tx)=tm *f(x) and
t*x1*f1(tx)+...+t*xn*fn(tx)=k*tm*f(x)
==>
x1*f1(x)+...+xn*fn(x)=k*f(x)
说明m次齐次也是可以的。而且m和k无关。

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关键词：Blume Simon Euler Blum Blu

I think your reasoning is wrong, since what you are trying to prove is just Euler's Theorem.
If you want to disprove a theorem, just give a counter example.