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雷达卡
商品交换公理内容是商品成交总金额等于商品成交数量与商品成交单价之积。这是一个众所周知的数学常识，无需证明，所以称之为公理（笔者原称之为商品交换定律，有误）。
该公理可以用数学公式表示如下：
m=PQ（适用于单一同质商品）
或：∑m=∑PQ（适用于多个不同质商品）
其中m表示成交总金额，P表示成交单价，Q表示成交数量。
商品交换公理数学公式可以视为z=xy。z=xy的图像是一个马鞍形曲面。每一次的商品交换可以看作是这个曲面上的一个点。
商品交换公理像一些几何学的公理可以构筑几何学大厦（推出很多的定理）一样，也可以演变或推出很多定理或定律。
下面对有关定理进行简介。
定理1:
成交单价增长率定理：ΔP/P=(Δm/m-ΔQ/Q)/(1+ΔQ/Q)
该定理意义为：已知成交数量增长率，成交金额增长率，求成交单价增长率。
推理过程如下：
m=PQ
当m增加Δm，P增加ΔP，Q增加ΔQ时，有：
m+Δm=(P+ΔP)(Q+ΔQ)=PQ+PΔQ+QΔP+ΔPΔQ
可以简化为：
Δm=PΔQ+QΔP+ΔPΔQ
上述等式左边除以m，右边除以PQ:
Δm/m=ΔQ/Q+ΔP/P+(ΔP/P)(ΔQ/Q)
或写为：Δm/m-ΔQ/Q=ΔP/P（1+ΔQ/Q）
则有：ΔP/P=(Δm/m-ΔQ/Q)/(1+ΔQ/Q)
推理完毕。
根据上述推理，我们可以猜出有以下公式成立：
ΔQ/Q=(Δm/m-ΔP/P)/(1+ΔP/P)
该公式不常用，了解即可。
定理2：
价量互反定理：在成交金额不变的条件下，成交单价提高，成交数量降低；成交单价降低，成交数量提高。
m=PQ
当m不变时，P、Q是反比例关系，该定理成立。
定理3：
需求定理：在其它条件不变的情况下，如果存在成交单价提高成交数量降低，成交单价降低成交数量提高，则称此情况为需求定理。
应该指出的是，需求定理与前述价量互反定理并不相同。
我们探讨一下需求定理的数学意义。
这时，需要引入需求价格弹性。需求价格弹性为需求量变化的百分比与需求价格变化的百分比的比值。需求价格弹性用u表示。
u=(ΔQ/Q)/ (ΔP/P)
u=（ΔQ/ΔP ）/(Q/P)
或写为：
u=(dQ/Q)/(dP/P)
我们知道，P、Q均大于0，需求定理只有在（ΔQ/ΔP ）为负值时成立。
此时u也为负值。
需求定理的数学意义是需求价格弹性u为负值。
如果某商品的需求价格弹性为负值，我们称该商品符合需求定理。
价格互反定理的数学意义是：m为定值（相当于u=-1）。
需求定理的数学意义是：u为负值。
不妨对价格互反定理进行一下数学推导：
m=PQ
两边微分得：
dm=d(PQ)=PdQ+QdP=0
则有:(dQ/Q)/dP/P=-1
即u=-1
价格互反定理是需求定理的特殊情况。
需求定理的图像是需求曲线，价格互反定理的图像是双曲线。
特别地，当u为定值时，需求曲线的方程为幂函数。
推导过程如下：
考虑到习惯，设dQ=dy,dP=dx,Q=y,P=x。
u=（dy/y）/（dx/x）
则dy/y=udx/x
两边积分得：
lny=ulnx+C
可推出：
y=Cxu
一般而言，为了研究问题方便，可以假设u在某一价格区域是不变的，也就是说可以将需求曲线视为幂函数方程。
u为负值时的需求曲线还有一种特殊情况：dQ/dP为常量。
设dQ=dy,dP=dx,Q=y,P=x；另设dy/dx=k，k为常量。
dy=kdx
两边积分得：
y=kx+C
这是一个一次直线方程，其中k小于0。
经济学教科书中，经常出现这样的需求曲线方程。这种需求曲线方程中的需求价格弹性每一点一般不相同。
定理4：
费雪方程式定理：MV=PQ
M表示流通中的基础货币B，V表示货币流通速度。严格来讲，本定理在流通中货币仅为现金（没有银行存款）时成立。为了研究简便，我们假设流通中货币为现金和银行存款时也成立，并假设基础货币B仅在货物或服务中流通忽略其在股市和其它金融产品中流通。
MV表示的是成交总金额，PQ表示的也是成交总金额。
m=MV
m=PQ
必然有：MV=PQ=m
费雪方程式是研究货币引起价格变化的绝佳公式。
简单介绍一下费雪方程式的变化：
MV=PQ
等式两边取自然对数：
ln(MV)=ln(PQ)
可写为：
lnM+lnV=lnP+lnQ
等式两边微分：
dM/M+dV/V=dP/P+dQ/Q
或写为：
dP/P= dM/M+dV/V-dQ/Q
价格变化率与基础货币变化率、货币流通速度变化率、供给量变化相关率。
特别地，当货币流通速度不变，供给量不变时，有：
dP/P=dM/M
此时价格变化率与基础货币变化率相等。
特别地，当基础货币不变，供给量不变时，有：
dP/P=dV/V
此时价格变化率与货币流通速度变化率相等。
关于货币流通速度，常见的资料介绍有很大的问题，这里进行一下说明。
常见的资料认为：PQ=GDP，M=M2
从而得出：V=GDP/M2
这种理解是错误的，和费雪方程式不符。
根据费雪方程式，货币流通速度公式应如下：
V=PQ/B
前文出现了PQ及GDP，PQ与GDP有没有关系呢？
GDP实际是增加值的汇总，增加值等于总产出减去中间投入。PQ是历史商品的总产出及当年商品的总产出中的市场成交金额。
假设当年商品的总产出为T，有以下公式成立：
PQ=cT
c表示PQ与T之间的比例系数（可以理解为产销率），是一个略大于或略小于1的数。
设增加值率z=GDP/T，近几年z大约在0.3-0.35之间或左右。
则可推出：
PQ=c×GDP/z
或GDP=zPQ/c
这就是PQ与GDP之间的关系。
货币流通速度V可以表示为：
V=c×GDP/Bz
上式可以写为：
GDP=BVz/c
可得出：dGDP/GDP=dB/B+dV/V+dz/z-dc/c
从上式可以看出（纯理论上），增发基础货币，加快货币流通速度，提高增加值率有利于GDP的提高。经济危机发生可以认为是货币流通速度下降。
定理5：
商品价格定理：
西方经济学关于商品价格的数学公式是：
P=f（u，I，X，Q1，Q2，C）
这里，u表示商品效用，I表示收入，X表示其它影响价格的因素，Q1表示需求量，Q2表示供给量，C表示成本费用。
将u、I、X对价格的影响简化为影响系数a、b、c，可以得出：
PQ2= abcQ1C（注意：m=PQ）
P=abcQ1C/Q2
该公式可以称为商品价格定理。
我们知道，一般情况下C不等于0——劳动产品，但有时也存在C等于0的情况——自然产品，例如土地、天然山林、矿产资源等等。这些产品在人们没有对它们进行劳动加工时也是有价格的。此时以上的价格公式已不适用，必须改写。
改写的公式为：
P=ubcQ1/Q2
这里，u不再简化为系数a，其它的b、c、Q1、Q2还是表示原意。当然，u很抽象又很具体，不同的资源有不同的评价，需要专业的深入研究，本文不进行具体探讨。
人们日常中常说价值规律，价值规律实际是假设a、b、c、C均不变的商品价格定理的特殊情况。
P= (abcC)Q1/Q2
假设Po=abcC
有P=PoQ1/Q2
在常见的需求曲线上，不同的价格对应不同的需求量。所以并不存在一个固定的价值，但可以存在一个不变的Po。
定理6：
商品贸易（含生产，下同）定理：商品贸易可以持续的条件是商品贸易可以获利。
商品贸易定理的数学表达式是：P1Q1－P0Q0－C大于0
P1Q1表示卖出的总金额，也可以用m1表示。P0Q0表示购买总金额，也可以用m0表示。C表示为了买卖行为的完成付出的成本或费用，大概可以称之为“交易费用”，例如运输费用、保管费用、保险费用、税收等。在一般情况下有P1≤P0。
以上所说的是纯商业（买卖）的情况，在现实生活中还有生产产品（不是买）卖出的情况，此时可以把P0Q0视为企业的生产成本费用。
商品贸易定理也可以用如下数学式表达：m1－m0－C大于0
关于与商品交换公理有关的定理就介绍以上这些，下面谈谈商品交换公理及有关定理的应用。
根据商品交换公理和有关定理，可以解释很多商品交换的现象。
商品价格攀升与下降；经济危机时价低量低，经济繁荣时价高量高。
用商品交换公理解释。
根据m=PQ或P=m/Q
可得：
dm/m=dP/P+dQ/Q
dP/P=dm/m-dQ/Q
由以上公式可以看出当购买总金额m增加而Q不变或增加率低于m的增加率时，价格体现为攀升；反之，体现为下降。
经济危机时购买总金额m减少导致价低量低，经济繁荣时购买总金额m增加导致价高量高。这种价格现象不符合需求定理，原因是需求定理要求的条件是u小于0，此时是u大于0。
单价增长率定理应用实例。
以下是2015年1-2月份商品房销售的数据（摘自统计局网站）：
1-2月份，商品房销售面积8764万平方米，同比下降16.3%。其中，住宅销售面积下降17.8%，办公楼销售面积下降4.6%，商业营业用房销售面积增长3.2%。商品房销售额5972亿元，下降15.8%。其中，住宅销售额下降16.7%，办公楼销售额下降15.6%，商业营业用房销售额下降4.0%。
根据上述数据可以算出：
商品房单价增长率=（-15.8%+16.3%）/(1-16.3%)=0.6%
住宅单价增长率=(-16.7%+17.8%)/（1-17.8%）=1.34%
办公楼单价增长率=（-15.6%+4.6%）/(1-4.6%)=-11.53%
商业营业用房单价增长率=（-4%-3.2%）/(1+3.2%)=-6.98%
2015年1-2月办公楼单价、商业营业用房单价是负增长率（即房均价下降），住宅单价是正增长率（即房均价上升）。商品房（以上综合）单价是正增长率（即综合房均价上升）。
各种通货膨胀现象。
用费雪方程式和商品价格定理解释。
m=MV=PQ
P=abcQ1C/Q2
dP/P= dM/M+dV/V-dQ/Q
货币超发引发的通货膨胀。假设V，Q不变，显然M增加会引起价格上涨，超过一定程度，即是通货膨胀。
货币流通速度加快引发的通货膨胀。假设M、Q不变，显然V增加会引起价格上涨，超过一定程度，即是通货膨胀。贷款增加可以视为货币流通速度增加的一个重要因素，通货膨胀本身也是货币流通速度增加的一个因素（害怕继续涨，所以就赶紧买）。
需求拉动型通货膨胀。m增加引起的P增加。
成本推动型通货膨胀。C增加引起的P增加。有工资推动型、利润推动型等。
输入性通货膨胀。C增加引起的P增加。主要指进口商品成本增加。
空气价格等于0。
用商品价格定理解释。
P=ubcQ1/Q2
空气虽然有用，且用途很大（u是很大值），但空气的供给是趋于无穷大，且空气是没有所有者的——假设空气国有化，国家向你收费，那是可以有价格的，这相当于Q2不是无穷大了。
本文主要介绍了以下公理及定理：
商品交换公理：m=PQ
定理1：成交单价增长率定理：ΔP/P=(Δm/m-ΔQ/Q)/(1+ΔQ/Q)
定理2：价格互反定理：u=-1
定理3：需求定理：u=(ΔQ/Q)/(ΔP/P)小于0
定理4:费雪方程式:MV=PQ=m
其中V= c×GDP/Bz；M=B；c=PQ/T；z=GDP/PQ。
定理5：商品价格定理：
P=abcQ1C/Q2
PQ2= abcQ1C
P=ubcQ1/Q2
价值规律：
P= (abcC)Q1/Q2
P=PoQ1/Q2
Po=abcC
定理6：商品贸易定理：
P1Q1－P0Q0－C大于0
m1－m0－C大于0
大道至简，商品交换公理很简单，但用之解释商品交换问题却非常有效。
最后，我们重温一下商品交换公理：
商品交换公理：m=PQ
商品交换公理的图像是马鞍形曲面，商品交换就好像在这个曲面上运动。
如果将购买总金额视为水流，水流多，价格或数量可以高；水流少，价格或数量自然低。
中央银行相当于水泵。
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