代理人产品和闲暇两种产品效用函数委托代理模型

注：下文是参照《经济学：新兴古典和新古典框架》中文版第188和189页写的，俺不知道对错。在人民大学西门网吧熬夜真不是个滋味，不过电影《美丽的心灵》看着不错,但思绪还是万千，不知道她现在怎么样了，已经两个多月联系不上她了。

有两个局中人，委托人不能照顾自己的生意，必须雇佣一个代理人做工作，代理人没有自己的生意可做，他必须为其他人工作。代理人的效用函数为xy=Kβ1（1-K），这个效用函数中的K代表代理人从工作得到的工资报酬；β1（1-K）代表代理人的闲暇效用。

假设代理人高努力时其闲暇的值为β1（1-K1）=1/2，那么项目的收益是

R=｛16，以3/4的概率

    4，以1/4的概率

如果代理人低努力时其闲暇的值为β2（1-K2）=3/4，那么项目的收益是

R=｛16，以1/4的概率

    4，以3/4的概率

代理人高努力时闲暇的值高于低努力时闲暇的值，好象可以看作高努力时的劳动时间长，低努力时的劳动时间短，这样可能好理解一些。

委托人的效用函数为U委=R-K。假设委托人能够观察代理人的努力水平，那么他能够计算代理人不同努力水平的期望效用。

假设代理人在其他地方工作能够得到的效用为1/4，那么委托人能够看出如果他支付给代理人的工资K1=1/2，代理人将选择高努力水平。这时，委托人的期望效用是（3/4）*16+（1/4）*4-（1/2）=50/4=150/12

如果代理人选择了低努力水平，那么委托人支付给代理人的工资K2=1/3，这时，委托人的期望效用是（1/4）*16+（3/4）*4-（1/3）=80/12

明显地，代理人高努力水平的时候委托人的期望效用高于代理人低努力水平时候委托人的期望效用，因此，委托人愿意支付给代理人1/2的工资以使代理人选择高努力水平。

现在假设委托人不能观察到代理人的努力水平，或由于对努力水平以及相应的报酬发生争论而诉诸法庭后法庭也不能证实，那么委托人必须选择一个有条件的合约对代理人。

第一个条件是保证代理人不比其他地方工作还坏，这个条件是参与约束条件。

【（3/4）M+（1/4）N】β1（1-K1）≥1/4

其中K1=（3/4）M+（1/4）N

第二个条件是确保代理人选择高努力水平时的期望效用不低于选择低努力水平时的期望效用，这个条件是激励相容条件。

【（3/4）M+（1/4）N】β1（1-K1）≥【（1/4）M+（3/4）N】β2（1-K2）

其中K2=（1/4）M+（3/4）N

由于委托人的目的是最大化他的期望效用，而这个期望效用是工资K的减函数，故他选择的M和N是使上述两个条件取等号时的值。由这两个有两个未知数的方程可以得到有效的有条件合约为：

3/4M+1/4N=1/2

1/4M+3/4N=1/3

联立上面两个方程就可以求出M和N的数值，可以求出N=1/4，M=7/12

可以计算出在这个合约中委托人的期望效用是（3/4）*16+（1/4）*4-（1/2）=50/4=150/12