需求曲线效用曲线无差异曲线方程探析

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需求曲线、效用曲线、无差异曲线在经济学著作中往往只有曲线，而没有对应的方程，但大家都知道，有图像一定有方程，本文就是探析需求曲线、效用曲线、无差异曲线的方程。

需求曲线方程探析

需求曲线是经济学价格理论中的很重要的一条曲线，它是与需求定律对应的。

需求定律是：在其它条件不变的情况下，价格与需求量反方向变动：价格上升需求量降低，价格下降需求量提高。人们将需求曲线画成斜向下的曲线，有的资料画成斜率为负值的直线。直线方程大家都知道是一次函数方程，那么曲线方程是什么呢？

价格理论有一个概念：价格需求弹性。

价格需求弹性指需求量的变化率与价格的变化率之比。

用数学公式表示如下：

μ=(ΔQ/Q)/(ΔP/P)

或：μ=(dQ/Q)/(dP/P)

μ价格需求弹性，Q数量，P价格。

西方经济学对价格需求弹性有实证研究，往往给出很多不同商品的价格需求弹性，并且每一种商品只给出一个值。

笔者意识到，当μ不变时，μ=(dQ/Q)/(dP/P)不就是一个微分方程吗，那么它的原函数不就是需求曲线方程吗？

我们将μ=(dQ/Q)/(dP/P)变为：

μdP/P=dQ/Q

两边积分得：

μlnP+lnC=lnQ

或写为：Q=CPμ

这是典型的幂函数方呈，价格需求弹性μ为幂为负数。C为常数。

如果μ为正数，该方程表示什么曲线呢？笔者最初认为是供给曲线。供给曲线是与供给定律对应的曲线，供给定律认为：在其它条件不变的情况下，供给量与价格同方向变化：价格上升供给量增加，价格下降供给量减少。

经笔者研究供给定律是错误的，因为供给只能按需求供给，供给永远等于需求，也就是说，供给曲线与需求曲线重合（仅仅是需求曲线的一部分）。

经济学中常说吉芬商品，价格高需求量反而增加，这个现象的背后是价格需求弹性是正值。

笔者提出需求第一定律和需求第二定律：

需求第一定律：如果价格需求弹性小于0，那么需求量与价格反方向变动：价格上升需求量降低，价格下降需求量提高。

需求第二定律：如果价格需求弹性大于0，那么需求量与价格同方向变动：价格上升需求量增加，价格下降需求量减少。

需求第一定律对应的需求曲线是价格需求弹性为负值的需求曲线，即人们所说的斜向下的需求曲线。

需求第二定律对应的需求曲线是价格需求弹性为正值的需求曲线，是人们所说的斜向上的供给曲线——其实是需求曲线（也是供给曲线，供给曲线与需求曲线重合）。

效用曲线方程探析

效用指消费者消费某种商品一定数量获得的满足程度。当满足程度为100%时，我们称此时对应的商品量为餍足量，消费者消费的商品数量到此为止。

我们以商品数量为横轴，效用为纵轴建立坐标系。

假设效用函数的图像是抛物线，那么效用函数为二次函数。

我们设餍足量为A。则可以确认抛物线上三点坐标为（0，0），（A，1），（2A，0）。

（2A，0）坐标是假设抛物线是对称而得到的（理论上存在现实不存在）。

我们可以假设抛物线对应的二次函数为：U=aX2+bX（图像经过原点，c为0）。

可得以下等式：

1=aA2+bA

0=4aA2+2bA

解之：

a=-1/A2

b=2/A

则：

U=-X2/A2+2X/A=-X(X-2A)/A2

MU=-2X/A2+2/A=-2(X-A)/A2

根据边际效用公式，在边际效用为大于或等于0时，最大边际效用为2，最小边际效用为0。

注：效用函数图像是一段抛物线，边际效用函数图像为一段线段。

无差异曲线方程探析

无差异曲线是经济学中的一个概念，它是指这样一条曲线，在它上面的每一点，商品的组合是不同的，但是，它表示人们从中得到的效用程度却是相同的.

无差异曲线的坐标系的横纵坐标轴为两种商品的数量。无差异曲线是向右下方倾斜的曲线。

无差异曲线的方程是什么呢？

    前面已经推出效用曲线方程为：Ux=-X(X-2A)/A2，A为餍足量。

我们假设另一个效用曲线方程为Uy=-Y(Y-2B)/B2，B为餍足量。

假设A大于B。

如果上述两个方程表示两种不同商品的效用曲线方程，那么无差异曲线方程是：Ux+Uy=C（C为定值，C小于等于2）。

将Ux=-X(X-2A)/A2与Uy=-Y(Y-2B)/B2代入可得：

（X-A）2/(2-C)A2+(Y-B)2/(2-C)B2=1

令：(2-C)A2=a2，(2-C)B2=b2

可得：（X-A）2/a2+(Y-B)2/ b2=1

这是以点（A,B）为中心，以a为长轴b为短轴的椭圆方程。考虑到X小于等于A，Y小于等于B。无差异曲线只能取这部分。

无差异曲线在（0，0），（A，0），(A，B)，(0，B)四个点组成的矩形内。

自（0，0）点开始，至（A，B）点终。

对无差异曲线方程微分可得：

dY/dX=-(X-A)b2/(Y-B)a2

这是所谓边际替代率:（marginal rate of substitution,MRS）

根据上式，边际替代率MRS为负值。

结论：

需求曲线是幂函数方程：Q=CPμ

效用曲线是抛物线方程：U=-X2/A2+2X/A=-X(X-2A)/A2

无差异曲线是椭圆方程：（X-A）2/a2+(Y-B)2/ b2=1

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关键词：无差异曲线 需求曲线 substitution Marginal margin