分布函数,又称累积分布函数(Cumulative Distribution Function),是一类非常重要的函数,通过该函数,人们可以研究随机变量的概率特征。一般来讲,分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的所有概率特征。
定义:设\[X\]是一个随机变量,\[x\]是任意的实数,则称函数\[F\left ( X \right )=P\left ( X\leq x \right )\]为\[X\]的分布函数。
对于任意的实数\[x_{1}\]与\[x_{2}\],有:
[LaTex]P\left ( x_{1}<X\leq x_{2} \right )=P\left(X\leq x_{2} \right )-P\left ( X\leq x_{1} \right )=F\left ( x_{2} \right )-F\left ( x_{1} \right )[/LaTex]
\[P\left ( X>x_{1}\right )=1-P\left ( X\leq x_{1} \right )=1-F\left ( x_{1} \right )\]
根据以上可知,分布函数可以完整描述随机变量的统计特性。
性质: 1.单调不减
对任意实数[LaTex]x_{1}<x_{2}[/LaTex],有:[LaTex]F\left ( x_{2} \right )-F\left ( x_{1}\right )=P\left ( x_{1}<X\leq x_{2} \right )\geq 0[/LaTex]
2.有界性
\[0\leq F\left ( x \right )\leq 1\]