金融工程与并行计算：第三章 多资产模拟与R的使用 Part 1

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本章旨在说明，如何进行具相关性的多资产随机过程的模拟。这其中需要一些线性代数的计算，为了简化数学的说明，我们打算利用R的内建函数来执行线性代数的计算。其实，这当然不是必要的，很多C#的链接库都有提供这些功能。以我们打算在后面介绍的QuantLibC#链接库而言，它几乎提供所有金融工程中所需的数学函数。但是，使用R也有附带的好处，他也可以成为我们验证计算的工具。此为，R所提供的绘图功能，也是一项额外的好处。

第一节 资产与相关性

一些复杂的金融商品，其偿付条件可能牵涉到的资产价格不只一个，因此，我们仿真之标的变量，可能不只一个，而且变量之间有相关性。令两资产分别为

.....................................................................................................(3.1.1)

若两变数报酬率之相关性为

，则我们可以先产生两个独立常态分配随机数， 与 。

我们可以使用下面的线性组合产生

与 ，

........................................................................................(3.1.2)

矩阵表示为，

................................................................................(3.1.3)

我们可以发现，此系数矩阵为一下三角矩阵，

，

...............................................................................................(3.1.4)

如果我们转置此矩阵，得到

，将两者相乘，得到这两资产的相关性矩阵， 。

当资产数目为n时，我们可以先求得n资产的相关性矩阵，，然后将相关性矩阵透过线性代数的Cholesky分解，找出。

................................................................(3.1.5)

再由与n个独立的常态分配随机数，

，便可产生n个相关性矩阵为的常态分配随机数 。

.................................................................................................(3.1.6)

第三节 R的Cholesky函数

在多资产的模拟中，我们需要将相关性矩阵进行Cholesky分解。形成下三角与上三角矩阵的乘积。以一个2╳2的相相关性矩阵为例。M可分解成L与U的乘积。

...........................................................(3.3.1)

#006

#007 > M <- matrix(c(1.0, 0.8, 0.8,1.0), nrow = 2, ncol = 2, byrow = TRUE)
#008 > U <- chol(M)
#009 > U
#010     [,1] [,2]
#011 [1,]   1  0.8
#012 [2,]   0  0.6
#013 > L <- t(U)
#014 > L
#015     [,1] [,2]
#016 [1,] 1.0  0.0
#017 [2,] 0.8  0.6
#018 > A = L %*% U
#019 > A
#020     [,1] [,2]
#021 [1,] 1.0  0.8
#022 [2,] 0.8  1.0
#023 >程序行表3.1


程序行表3.1示范了R语言的Cholesky分解函数，#007使用matrix()函数建立M矩阵；先以c()函数建立一维向量，内含四个分量，当作传入数据；然后，说明M矩阵为两列，两行的矩阵，并以列优先的方式，读取c()函数建立的一维向量。#008使用chol()函数执行Cholesky分解，将上三角矩阵传出给U矩阵。#013使用t()函数进行U矩阵的转置，将下三角矩阵传出给L矩阵。#018以L %*% U进行矩阵相乘，结果传给A。如果想知道每个变量的内容，只要在提示符号后输入变量的名称，按Enter就可看到结果。如#009输入U按Enter，便可看到2╳2的上三角矩阵。

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