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Applied Linear Algebra And Matrix Aanlysis
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Contents
1 LINEAR SYSTEMS OF EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notation and a Review of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Gaussian Elimination: Basic Ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Gaussian Elimination: General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.6 *Projects and Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 MATRIX ALGEBRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1 Matrix Addition and Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 Applications of Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4 Special Matrices and Transposes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5 Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.6 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.7 *Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.8 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.9 *Projects and Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3 VECTOR SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.1 Definitions and Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.3 Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.4 Subspaces Associated with Matrices and Operators . . . . . . . . . . 220
3.5 Bases and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.6 Linear Systems Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.7 *Change of Basis and Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.8 *Introduction to Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3.9 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.10 *Projects and Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4 GEOMETRICAL ASPECTS OF STANDARD SPACES . . . 277
4.1 Standard Norm and Inner Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.2 Applications of Norms and Vector Products . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.3 Orthogonal and Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.4 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.5 *Projects and Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5 THE EIGENVALUE PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.1 Definitions and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.2 Similarity and Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.3 Applications to Discrete Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.4 Orthogonal Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.5 *Schur Form and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.6 *The Singular Value Decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
5.7 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
5.8 *Project Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6 GEOMETRICAL ASPECTS OF ABSTRACT SPACES . . . 391
6.1 Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.2 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.3 Orthogonal Vectors and Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6.4 Linear Systems Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.5 *Operator Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.6 *Applications and Computational Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
6.7 *Projects and Reports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Table of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
Solutions to Selected Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

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