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雷达卡
楼主在读古扎拉蒂的计量经济学基础时一直有一个地方看不懂，就是为什么Zero Conditional Mean这个条件均值0假设可以推导出解释变量和误差之间的协方差是0，也就是任意一个解释变量和误差是没关联或者相互独立的。后来有Stack Exchange上的大神给了很牛逼的一个证明，在这跟大家分享一下，如果也对这个有不懂的人，可以看看。
开始吧：
假设我们有k个解释变量(Independent Variable/Explanatory Variable)，那根据Gauss-Markov Assumptions' Zero Conditional Mean写下以下假设[LaTex]E[u_{i}|x_{1i},x_{2i},...,x_{ki}] = 0\tag{7.1.2}[/LaTex]
这个假设在古扎拉蒂的书里写到如果这个7.1.2公式假设成立，那么自然而然保证了以下的等式：
\[Cov(u_{i},x_{1i}) = Cov(u_{i},x_{2i}) = ... = Cov(u_{i},x_{ki}) = 0\tag{7.1.5}\]
那怎么证明这个楼主实在想不出来，但是书里基本没给东西啊，除了一个下标注释这个可以引申推论出那个。所以只能问别人了。最后庆幸的是Stack Exchange Mathematics论坛里的用户/坛友/大牛grand_chat给出了很简单的证明。以下证明引用grand_chat给出的证明：
运用Iterated Expectation Law,重期待定理：
[LaTex] E[ux_{i}] = E[E[ux_{i}|x_{1},...,x_{k}]] = E[x_{i}E[u|x_{1},...,x_{k}]] = E[x \cdot 0] = 0 [/LaTex]
这里运用了上面7.1.2的条件均值为零的假设，根据这个假设里各个x均给定，所以已知x, x可视为常数从期待值里提取出来，再运用7.1.2的0假设条件，得出：
[LaTex] E[ux_{i}] = 0 [/LaTex]
而这个E[ux] = 0,我们也知道E假设的值也是0，那么E[ux] = E[x] = 0
所以根据协方差公式
[LaTex]Cov(u, x_{i}) = E[ux_{i}] - EE[x_{i}] = 0
原帖：
https://math.stackexchange.com/questions/3066820/does-a-zero-conditional-expectation-imply-pairwise-covariance-is-0
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