同济大学2019年数学分析真题

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同济大学2019年数学分析真题

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关键词：同济大学 数学分析 学分析

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19的考研真题啊？感觉比官网更新还快啊

同济大学2019年数学分析真题

解：（1）
\[\because \left | |x|^\alpha \sin \frac{1}{x} \right |\leq |x|^\alpha.\\ \therefore  当 \alpha > 0 时,f(x)连续.\]
        (2)
\[\because \lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|^\alpha \sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}|x|^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}.\\由于\sin \frac{1}{x}有界，\therefore 当\alpha > 1时，f(x)在x=0处可导.在x\neq 0处，\alpha 为任意值，f(x)均可导.\]
        (3)
\[当\alpha > 1时，由（2）显然有：f'(0)=0.而当x\neq 0，f'(x)=\alpha |x|^{\alpha -1}\sin\frac{1}{x}-|x|^{\alpha}\cdot \frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x},\\显然，当\alpha > 2时，\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=0,即在x=0处，f'(x)连续.\\而在x\neq 0处，f'(x)为初等函数，连续.\]

第三题题证明导函数极限定理。

导数极限定理：如果f(x)在x_0的某领域内连续，在x_0的去心邻域内可导，且导函数在x_0处的极限存在（等于a），则f(x)在x_0处的导数也存在并且等于a。

       这个定理的重要之处在于，不事先要求f在x0处可导，而根据导函数的极限存在就能推出在该点可导，也就是说，导函数如果在某点极限存在，那么在该点导函数一定是连续的，而这正是一般函数所不具备的性质。导数极限定理是个充分条件，但非必要条件。
       很奇怪，我找了一下同济七版高等数学，书中似乎并未讲到这个定理。


      这个定理可以用拉格朗日中值定理来证明。