缅怀徐利治先生

一路走好

先生千古！

先生千古，一路走好！

我们系的前系主任啊，缅怀前辈。

先生一路走好！

徐利治教授的绝响：落后3个世纪的数学教材，一群不知天高地厚的数学专家，中国数学的未来究竟在何方！

2019年3月11日，

被誉为中国数学教育三座学术高峰之一的徐利治教授逝世，享年99岁，

他是我国数学方法论研究领域的开拓者，其提出的RMI（关系-映射-反演）方法、数学抽象方法和数学抽象度分析方法，以及数学美学方法，都是对中国数学方法论研究有着巨大贡献，

1920年9月他生于江苏省张家港市，1945年7月毕业于中国最具传奇色彩的西南联合大学数学系并留校任教，1949年获英国文化委员会奖学金并前往英国亚贝丁大学和剑桥大学进修访问一年，回国后，先后在清华大学、吉林大学、大连理工大学任教，他在高维渐近积分定理、Gould-Hsu反演公式与大范围收敛迭代法的研究受到了国际数学界的广泛认可，在1983年所著的《数学方法论选讲》宣告了中国数学方法论流派的诞生，其书曾成为国内多所大学特别是一大批师范院校开设数学教育与方法论课程的教学参考书，

他亲历了20世纪30、40年代我国数学发展的一个传奇时代——华罗庚、陈省身、许宝騄等数学大家纷纷亮相国际数学大舞台，他虽然长期在地处偏远的长春工作，但几乎没有错过任何一次中国数学界思想与学术之间的碰撞，

在21世纪之初，他曾预测过中国数学未来发展将会遇到文献爆炸、分工过细、数学教育与教学方法固步自封三个困难，也揭露了中国现行数学教育的一个严重弊病，即学生通过学校的数学学习并没有形成正确的数学观，他还指出了在21世纪中国数学教育工作者必须重视的几个概念，

如今回头看徐利治教授所说的，一切正在慢慢变为现实.

                                              -------本文节选自徐利治教授所写的 《试论展望数学的新时代》与《现代数学教育工作者须重视的几个概念》

自20世纪50年代以来，数学发展非常迅速，而如今与30年前相比，情况已大不一样，出现了许多新问题和新现象，引起了数学界的关注，今后数学怎么发展？它将发展成什么样子？这些有关数学发展的前景问题已成为部分数学工作感兴趣的研究课题，

由于当今数学处在发展很快的历史阶段，所以数学研究面临着巨大的困难，分析这些困难就可以预测数学今后发展的趋势，研究解决这些困难的方法并付诸实施就推动了数学科学进一步地向前发展，从而给数学带来新的希望，

我们认为，当今数学的发展面临三方面的困难，

一、文献爆炸局面所带来的困难

据粗略估计，现在全世界至少有1500种数学杂志，它们几乎遍布于世界的每个角落，例如，我国台湾省就有数学期刊三四种，克里特这个位于地中海的小岛也出版、发行过数学杂志，非洲一向被认为比较落后，但南非却有几种数学刊物，

这些数学杂志每年所刊登的数学文章数量很可观，仅以美国著名杂志《数学评论》而言，每年约登载数学论文文摘5万篇，就算现在数学有50分支，那么平均每个分支每年发表论文就有1000篇，事实上，有些分支（如函数论、计算数学、偏微分方程）的文献数量远远不止这些，有的多达数千篇，在此情况下，每一位数学工作者欲使自己的研究工作不脱离现实，跟上时代前进的步伐，就得每年看约1000篇论文（平均每天三四篇），以及时掌握最新的学术动态，这是很难做到的，

所以常常发生有些研究成果重复或部分重复的现象，

甚至有的数学问题早在二三十年前就已被别人解决，而自己竟毫无所知，个人的视听范围有限，即使采取讨论班或研究集体等形式分工掌握学术情报，也要花费相当大的力量，这些都是文献爆炸局面所带来的困难.

二、分工过细造成的困难

科学分工原是科学向前发展和历史进步的表现，

各门科学的发展的遵循从创始、成长到成熟这一客观规律，发展到后来，科学知识日益丰富、有很大内容需要分门别类地进行研究，所以分工细也是科学发展的必然结果，但是到了20世纪80年代，数学发展成数十个分支，而且每个分支中还有小的分支，分工越来越细，以致过细，打个比方，数学犹如一颗大树，有树干，其上有许多树支、树杈、枝杈越分越多，

今天数学工作者往往只在一颗“树”的某个“树杈”上做些研究，

回顾18-19世纪，很多数学家都是身兼数职，他们不仅在数学的广阔领域里造诣极深，而且精通多种学科，像欧拉、拉普拉斯、傅里叶、高斯等既是纯粹数学家，又是物理学家、哲学家或天文学家，

根据高斯对纯数学的贡献，人们误以为他把主要精力付与纯数学，其实不然，他对天文学兴趣极浓，致力于行星研究约20年，写成了不朽的著作《天体运动理论》，进入中年以后，他又与电磁学家韦伯合作研究电磁学，建立了著名的高斯计算单位，他对天文学、电磁学的研究推动了数学与物理学相结合的新时代，

又如傅里叶创立了傅里叶变换和傅里叶分析这两大数学分科，他也只是用小部分的时间研究数学、大部分时间搞物理，那时的数学家往往在数学的很多领域（如数学分析、几何、代数、微分方程等）中同时作出贡献，有的在数学科学之外也有所建树，他们是名副其实的科学家，

19世纪末叶至20世纪初叶，情况发生了变化，随着分工变细，产生了纯粹数学家，

他们只研究数学，不搞其他科学，那时有些学者就以纯粹数学家自居，其中最著名的有哈代，他提倡纯粹数学，所著分析教程也以纯粹数学教程命名，又如，罗素对数理逻辑有贡献，他也以纯粹数学家自居，

在20世纪40年代以后，数学专家越来越多，这些专家只能研究数学的某个分支，诸如，有的积分论专家一辈子只研究积分论，有的函数论专家几十年只搞函数论，20世纪60年前后，能被称得上是数学家和数学权威的只有两个人，一位是诺伊曼，他对几何学、代数学、分析学、测度论、算子论、泛函分析、计算机科学、数值分析等都做出了重要贡献，还对量子力学做出了贡献，另一位是苏联数学界的权威柯尔莫戈洛夫，他早年对函数论和傅里叶分析作出过杰出的贡献，后来又对泛函分析、拓扑学等分支作出了重要贡献，尤其是他完成了概率论的公理化工作，不仅如此，他还是信息论、控制论的创始人之一，对应用数学也有很多贡献，

而近30年来，人们所说的数学家多半是数学专家，他们主要是在数学的一两个分支上作出了重大贡献，这种现象导致了布尔巴基学派的呼吁，该学派的口号是：“今后的数学教育应面对一个伟大的目标，即着重培养综合性的数学家，而不光是数学专家”，

综上所述，分工过细的积极作用是，各专一行，便于攀登学术高峰，并较快地达到登峰造极的地步，但分工过细的消极影响却更大，隔行如隔山，相互间很难协作，不利于攻克大型问题，有时也要借助于其他分支的方法，

举一个例子来说明这一点，原来单叶函数论中有个著名的比伯巴赫猜想，长期以来，各国学者为证明其正确性做过许多努力，但他们都只能在某种条件下进行论证，这个猜想后被美国数学家布朗基利用特殊函数论的有关结果完全证实，由此看出，过分专门的数学专家对数学理论的推进作用不大，即使在纯理论的数学领域里，要想作出出色的贡献也得精通几个数学分支，解决应用数学中的问题，更是这样，

分工过细，各守一隅，还容易文人相轻，各自为政，甚至无限排斥，阻碍数学新分支的成长，对数学的发展极为有害，例如，1983年我去访问美国数学界就发现从事纯粹数学研究的人对非标准分析、模糊数学、组合数学就持轻视、贬低的态度，这个现象是18-19世纪所没有的，实际上，除传统的分析外，非标准分析也应该加以研究，模糊数学应用面很广，组合数学在计算机科学中起着很大的作用，都应该加以研究，

这种由于分工过细，知识面窄所形成的不知天外有天、山外有山的狭隘观念，

给数学的进一步发展带来了很大的困难.

三、数学教育与教学方法固步自封所带来的困难

现在数学教育的教材内容陈旧，教学方法古板，教学观点偏于形式主义和机械，

这是从宏观的观点说的，国外也如此，许多数学工作者认为，总的说来，现在初中、高中教材基本上是16-17世纪的产物，大学教材是18-19世纪的东西，大学生直到做毕业论文时才接触20世纪的文献，教材编写数十年如一日，没有什么变化，例如，我国高校现行微积分等教材基本上沿袭20世纪50年代向苏联学习时的那套传统，虽经几次改写，还是三十四年前的东西，只是组织得更有条理、更严格、更形式化一些而已，

但至今我们都没有接触流形的观点，

美国近20年来都开设“流形上的微积分”课，国外工程师都会运用这种流形分析工具，其实流形的观点并不困难，而且用流形观点讲微积分反而简化某些概念使其便于应用，我国近几年开始注意这个问题，先后翻译和出版了基本关于流形上的微积分方面的著作，上述固步自封的局面适应不了当代数学发展的需要，现在数学教育已经到了非革新不可的阶段，

而在教材编写的风格上，问题更是严重，回顾历史，18-19世纪是数学蓬勃发展的阶段，那时的分析和代数教材演绎、归纳并重，教材编写遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认识规律，使初学者首先从直观上认识数学内容的背景，然后上升到理性认识，

但是近几十年来，特别是19世纪末到20世纪初，数学发展到所谓理性主义阶段，写书强调综合统一、严格化、演绎法在数学中取得支配地位，最后，数学教材只反映演绎而无归纳了，近半个世纪以来，由于公理化的影响，尤其是现代形式主义的影响，公理化主义、纯形式主义反映到数学中来，数学被逐步描述为公理化系统，应该承认，公理化思想是数学发展的一大进步，把数学知识整理成公理化系统，使其更有条理、更严密，是很有必要的，

但是作为教材，只持形式主义观点固然可以训练人的逻辑思维能力、却难以培养学生灵活的创造、发明能力，应该演绎、归纳并重，

国内外数学教材所存在的这一通病引起了数学界的注意，20世纪60年代前后，国外曾出现“新数学运动”，他们提倡用结构主义观点处理教材和教法，这实际上就是布尔巴基学派的观点，从数学的发展来看，这种观点是无可非议的，在教学上，他们把数学理解成结构，研究数学就是研究各种数学结构（母结构、有序结构、代数结构和拓扑结构），把数学知识归纳为三大基本类中的某一类或由这些基本类所形成的交叉结构，按此观点改革当时的教材，中学数学首先讲集合论，还要讲形式逻辑，数理逻辑的一部分及数学结构等知识，

这种思潮遍及美、英、法等国，历时10年而已失败告终，其原因在于，这种作法既违反数学具有归纳、演绎二重性这一本质，也违反人的认识规律，更可笑的是，这样教出来的学生只会夸夸其谈，不会计算，譬如，叫他们计算3×7，他们首先考虑3×7是否等于7×3，“新数学运动”后又被称为教改的试验时期，它虽是革旧布新，但其实质是变直观为形式，失败也就在所难免，

20世纪70年代初期，教改进入反省时期，

此时美国杰出的数学家兼教育家波利亚的观点重新受到人们重视，他的基本思想是：“数学体系具有归纳、演绎二重性，数学教材也要体现这种二重性，教改和教学都要符合人的认识规律”，

20世纪80年代以来，数学发展的趋势朝着离散数学方向有力地增长着，离散分析得到进一步的发展，离散分析包括数论、布尔代数、线性代数、抽象代数、编码与译码理论、数理逻辑、组合数学、图论、离散概率论等数学分支，这样说并不意味着微积分与经典分析将不再享有盛誉，而只是说，它在数学中的支配地位及其应用面临一场挑战，

例如，A.Ralston就写过一篇论“微积分的衰落，离散数学兴起”的文章，诚然，“微积分是人类才智的最大业绩之一”，尽管国内外目前还是连续数学占统治地位，但是今后，离散分析却完全有可能与经典分析平等地设置于某类学科的学习计划中，认识未来数学发展的这一特点，就应该组织一定力量研究离散数学，

在这之后，数学的发展处于酝酿阶段并走向新的变革时期，

我们现在正面临这个新的历史时期，时代要求数学工作者是保守思想最少的激进派.

四、“数学学”必然兴起

近几年，国内外不少学者提出了“数学学”的概念，

“数学学”是以数学本身为研究对象的科学，它不是数学分支，也不是数学哲学，而是统率全部数学的一门学问，数学学正处于萌芽状态，但仍可以预见其内容至少应包括文献学、评析学、方法学三个方面，

数学文献学：现今数学文献浩瀚如海，数学文献学旨在研究如何使用电子计算机储存文献，继之对其进行整理，分析、分类、以备数学研究工作者查阅、引用，为此，必须解决如何分析，如何分类等原则问题，将来还需要通过智能机进行文献检索和管理，

数学评析学：国内外都有文学评论学，并有专门杂志发表评论文章，我国也提倡文学评论，鲁迅就提倡过评析，数学也应该提倡评论，评论就要分析，所以叫“评析学”，通过评析，对大量数学文献、资料和数学成果去粗取精，沙里淘金，这门科学需要数学发展史、辩证唯物主义和数学哲学作为其基础，已提供评析数学成果的观点和标准，由此可见，创建这门学问是一项重要而艰巨的任务，

数学方法学：数学方法学是探索数学的发展规律、思想方法以及数学领域中的发现、发明和创新等法则的一门学问，开展数学方法学的研究将为造就我国新一代的数学家作出很大贡献，

当然，“数学学”可能远不止这些内容，总之，不论进行数学创作或评析都必须有历史眼光和自己的见解，众所周知，我国唐朝文学发达，提倡作诗，但能传诵至今者并不多，熟知的《唐诗三百首》就是经过历史多次筛选所留存的精华，我们从事数学研究也需要有历史眼光，抓住那些推动数学发展的关键性问题进行研究，争取作出开拓性工作，举一个小例子，有个数学家名叫佐恩，他曾写过一篇只有两页长的短文，证明了“凡所含诸链皆有上界的偏序集必有极大元素”这个命题，即所谓Zom引理，该引理被后人在文献中千百次地引用，他虽非杰出数学家，但他所证明的Zom引理简便引用，生命力强，这个成果势必流传千古，

而集体研究，分工协作，联名发表文章，撰写著作也将是一个十分普遍的现象，

像现在物理科学已经很明显，多为集体研究、分工协作，像核物理研究所为了探索新的粒子，常组织数十人的队伍合作攻关，有的文章发表时作者名字排了长达一页，这趋势一定会进一步加强，这种行为也应该大力提倡，因为可以集思广益，提高研究质量，有利于解决大型问题，作出开辟性工作，历史上，布尔巴基学派这个研究组织已经为我们树立了良好的典范，

17世纪到19世纪，数学发展的直观源泉主要是物理学，1951年，冯诺依曼曾说过，分析是技术上的最大成功和数学中最精彩部分，近几十年来，人们研究运筹学、生命科学等，数学的直观源泉已远远超出物理学的范围，

我们进行数学研究应该到更广阔的天地（自然、社会、人文、管理、行为和计算机等领域）中去寻找新思想、新观点和新方法，有人预言，今后数学创造思想的丰富源泉简史“事理学”，此外，还有许多边缘科学要大加发展，诸如生物数学等，对此，罗马尼亚、法国已有专门杂志，数学心理学也已形成，它主要运用拓扑学、统计学方法来进行研究，数学语言学，这是一门新学科，波兰有一个学派已做了很重要的贡献，还有数理经济学以及正在酝酿的数学社会学、环境数学等，数学与其他科学的结合会得到进一步的发展，离散数学将进入全盛时代，

有人预言，在未来数学发展史上会有这么一天，离散数学将代替连续数学占统治地位，目前，某些离散问题通过分析学解决得很好，例如，解析数论就是用分析学处理一些离散的对象，离散分析的发展将成为未来数学发展的重要内容，它虽亦具有本身的研究思想方法、内容和问题，但与连续数学存在着思想和方法的相互影响，二者在未来必是紧密相联的，

我们认为，分析数学和离散数学的交互为用、渗透和发展将成为未来新兴数学的特色.