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雷达卡
不放回抽样的随机公平分配
于德浩
2019.7.18
在《概率论与数理统计》的教科书中，有这样一道例题。袋中有a个白球和b个红球，有k个人依次去取出一只球，问，第i个人取到白球的概率是多少？
这个题的答案是，如果是放回抽样，显然概率是a/（a+b）。这就对应现实中买福利彩票的案例，任何一个人，不论购买先后，不论猜什么数字组合，中奖概率都是一样的。
对于放回抽样，概率计算的最终结果也是a/（a+b）。这个数学过程比较复杂，a*A（k-1，a+b-1）/A（k，a+b）= a/（a+b）。比方说，2个白球和10个红球，任何一个人取出白球的概率都是，2*（11*10*……*1）/（12*11*10*……*1）=2/12。这对应的现实案例，就是古老的抓阄分配规则。
抓阄分配似乎有一个悖论。比方说，第一个人去抓阄，他的概率显然是2/12，因为袋里有2个白球和10个红球。如果，第一个人没取到白球，那么第二个人的概率就应该是2/11，比第一人的概率要高一点点。如果，第一个人碰巧取到白球，那么第二个人的取白球成功概率就应该是1/11，概率要低大约一半。这与例题的答案2/12，明显不一样啊？
第一个抓阄的人，其成功取到白球的概率是2/12，失败的概率是10/12。理智的讲，他不应该参与这个游戏，或者说，似乎抓阄顺序越靠后，应该越有利。比如，第一个人没摸到，概率就增加为2/11；前面5个人都没中，第6个人的成功概率就是2/7；若前面9个人都没中，第10个人成功的概率就是2/3，这才大于失败的概率。难道说，第十个抓阄的人比第一个人更有利？
好像这也违背常识。因为，如果前面9个人已经把2个白球都取走了，最后面的三个人成功的概率就是0了。
其实，第一个人与最后一个人成功的概率是一样的。第一个人实际是把所有的球分为两堆；自己拿一个是一堆，剩余11个球是另外一堆。最后一个人也是被分为两堆，前面人拿走11个球是一堆，剩下一个给自己是另外一堆。所以，分类的概率是1/12，而得到白球的期望值就是（1/12）*2=2/12=1/6。这样可以看成是另外一种解题方法。 第二个人取白球的概率，实际是进行了两次分类。先是自己的一堆2/12；然后被第一个人先拿走一半。于是最后的概率就是（2/12）*2*（1/2）=2/12。 同理，第六个人取白球的概率就是（6/12）*2*（1/6）=2/12。这就与例题答案a/（a+b）一致了。
另外一个思路就是，放回抽样与不放回抽样，物理本质是相同的。如果前面抓阄的人都对结果保密；只有大家全部抓阄分配完，才最终一起揭晓。那么，无论是第i个人看来，所有的球被分成两堆，一堆是别人的球，一堆是剩余可选的球。显然，由于是混合均匀再分堆的，无论哪一堆，出白球的概率都是一样的，都是a/（a+b）。所有，当他从剩余堆里，选出一个球，概率还是a/（a+b）。
再进一步，即使第i个人知道前面的结果，由于他物理上不能再去选别人的球，他只能选剩余的球，这既然是相同的操作，就应该对应相同的概率a/（a+b）。
表面上看，若前面6个人都没选中白球，第七个人的成功概率就大幅增加为2/6；这可是由他放弃前面可选机会换来的。现实的讲，如果前面已经有1个白球被别人先取走了，他成功的概率就是1/6，与初始的概率2/12是一样的。
在股票牛市中，平均每个月预期上涨+4%，前面5个月基本没涨，第6个月突然大涨+20%。有的人很幸运，刚好在第6个月买入，也就是一个月大赚+20%；而有的人是持股半年涨+24%。正确的做法应该是长期持股，直到判断牛市结束为止。就是说，既然预期平均每月上涨+4%，无论前面几个月涨幅太小还是太大，你都不应该随意认为下个月“会下跌或大涨”。就如同，不管前面掷硬币连续出现正面3次还是反面4次，下一次出正面的概率仍是1/2，不会变大也不会变小。
如果我们预计未来1年是牛市，应该有10个月上涨，2个月下跌，这个作为基础信息。显然，股价月度回调的基础概率是1/6，如果没有其他可靠信息的话，我们一般应该认为“后面每个月都是上涨的”。我们不应该因为某个利空消息或者上个月涨得太快了，就去随意判断下个月会下跌回调，这往往会因小失大。
去抓小概率事件往往是徒劳的。其实，就算我们避不开下跌回调，我们最后的总收益也是相当不错的。举例来说，当股价从10元上涨到15元，我们逢高卖出；结果，股价是上涨到19元才回调至16元，然后又上涨至最高30元。如果，当初我们一直等14元以下，那么就是刚赚一点就离场了；如果，在18元再上车，显然比持股不动要收益少。
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