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雷达卡
1. (15分)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[5]{1+3x^4}-\sqrt{1-2x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}.$$
2. (15分)设$x_0=\alpha,x_1=\beta,x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n
+\frac{1}{3}x_{n-1}\,(n\geq 1)$.证明:数列$\{x_n\}$收敛,并求出极限值.
3. (15分) 判断下列极限是否存在,并说明理由.
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{\sin x}\sin\frac{1}{x}\cos t^2dt.\]
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4. (15分) 设函数$f(x)$在区间$[0,n]$ ($n$是一个正整数)上连续,并且$f(0)=f(n)$.证明:存在点$x_0\in [0,n-1]$,使得$f(x_0)=f(x_0+1)$.5. (15分,第一小题8分,第二小题7分) (1) $I_1=\int_{0}^{1}\frac{x^b-x^a}{\ln x}\,\mathrm{d}x\,(a,b>0)$.
(2) $I_2=\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$.
6. (15分) 设$\mathscr{D}$是$Oxy$平面上由曲线$y=\sqrt{x}$和直线$y=x$所围成的图形,求$\mathscr{D}$绕直线$y=x$旋转产生的旋转体体积.
7. (15分) 求函数$f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$在球面$x^2+y^2+z^2=5R^2\,(x,y,z>0)$上的最大值.
8. (15分)证明:
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\pi<
\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x<\pi.\]
9. (15分)讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{n}x^n$的收敛性.
10. (15分)证明
\[\left|\int_{100}^{200}\frac{x^3}{x^4+x-1}\,\mathrm{d}x-
\ln 2\right|<\frac{1}{3}\cdot 10^{-6}.\]
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