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雷达卡
不懂几何者禁止入内
欧几里得的《几何原本》是建立在古希腊众多哲学家们几百年累积思考的成果之上的。具体的数学知识和论证方法或许最初来自于古埃及和巴比伦，但它们的数学只是像中国古代数学那样完全局限于具体的应用范畴。随着希腊人对这些在具体应用中总结出来的数学知识注入属于自己真正的哲学思考之后，公理化理论体系的大厦终于就要拔地而起了。在这个过程中柏拉图和亚里士多德这对师徒的影响无疑是最大的。
深受毕达哥拉斯学派影响的柏拉图特别重视几何对于人的作用，由其创办的学园大门上赫然写着『不懂几何者禁止入内』就可见一斑了。他主张要用抽象理论研究几何，尤其是要把逻辑方法引入几何的分析之中，而其徒亚里士多德则直接开创了形式逻辑。古希腊的师徒关系和中国有些不同，亚里士多德的名言就是『我爱我师，但我更爱真理』。柏拉图的哲学思想比较复杂，我们在后面会进行分析。亚里士多德在其著作《形而上学》和《工具论》中对形式逻辑的阐述极大的影响了之后科学理论的发展，尤其是对于公理化理论体系的构建规范的影响，而欧几里得就是第一个最成功的实践者。
亚里士多德建立了第一个逻辑系统，即著名的三段论理论。
三段论推理是演绎推理中的一种简单推理判断。他包括：一个包含大项和中项的命题（大前提）、一个包含小项和中项的命题（小前提）以及一个包含小项和大项的命题（结论）三部分。三段论实际上是以一个一般性的原则（大前提）以及一个附属于一般性的原则的特殊化陈述（小前提），由此引申出一个符合一般性原则的特殊化陈述（结论）的过程。
著名的“苏格拉底为什么会死”三段论：大前提：凡人皆有一死；小前提：苏格拉底是人；结论：所以苏格拉底会死。
三段论推理是亚里士多德首创的一种演绎推理的重要形式。亚里士多德把知识分为两种：一种是直观可得到的知识，另一种是推论可得到的知识。推论的知识是一种具有『因果关系』的知识，即结论本身就已经包含在前提之中（推论的知识本身包含在直观的知识之中）。而直观的知识是人类本身对于事物那些“不可分的形式，本质或者本质属性”的准确把握，由于它包含了一切推论的最初前提，所以它是一切科学的最初源泉。
显然，演绎推理是一种『保真性推理』。每个根据演绎推理而得到的结论都只是从各种前提而来的衍生物。它们合在一起只是表明了这样一种因果关系：因为前提是真的，所以结论也必然是真的。然而这并不能用来确保最终结论的『真理性』，因为前提未必是『绝对的真』。并且这种方式也无法用来得到『绝对的真』的前提，因为『绝对的真』的前提只能由另一个『绝对的真』的前提推论而来，这其实已经陷入了无穷无尽递归的逻辑陷阱之中了。
定义是什么为了解决真理演绎的无穷递归难题，亚里士多德转向了柏拉图的本质主义，他认为：“我们只能通过认识事物的本质来认识事物， 而认识事物就是认识其本质。”也就是说在亚里士多德看来，一个“基本前提”只不过是描述事物本质的陈述，并且这种本质陈述就是他要求的定义，即所有“证明的基本前提”都是定义。
定义是什么？可以举一个例子，“小狗是年纪小的狗”。这个定义句型中的主词是“小狗”，它被称作需加定义的项（或被定义项）；而“年纪小的狗”，则被称做定义项。一般情况下，定义项总是比被定义项要长一些和复杂一些，有的时候这方面的情况还很突出。亚里士多德把被定义项看做事物本质的名称，把定义项看做对该本质的描述。他认为，定义项必须对所被谈论中事物的本质或本质特性作出透彻的描述。由此，像“小狗有四条脚”这一陈述，尽管是真的，但却不是一个令人满意的定义，因为它不但没有穷尽所谓狗的本质，而且这句话对马也是真的。同样，像“小狗是棕色的”陈述，虽然对于某些小狗来说是真的，但是对于所有的狗来说则不是真的；它所描述的不是被定义项的本质特性，而只是它的一种偶然特性。然而，最困难的问题在于，我们如何才能把握定义或基本前提，并断定它们是正确的，即断定我们没有弄错，所掌握的不是错误的本质。由于对这个论点，亚里士多德并不太清楚，所以勿需怀疑，在主要方面，他重又追随柏拉图。柏拉图认为，借助某种正确无误的理智直觉，我们就能把握理念。这就是说，我们可以用我们的“心灵之眼”来透视或察看它们。他把它看做一种类似于肉眼看事物的过程，但却纯粹依赖于我们的理智，并排除了任何依赖于感觉的因素。与柏拉图相比，亚里土多德的观点少了些激进和鼓动性，但是归根到底仍是一样的。这是因为，虽然他主张我们只有在进行许多观察之后才能够形成定义，但是他又承认，感觉经验本身并不能把握普遍的本质，从而它完全不能决定一个定义。最终他只好假定，我们拥有一种理智直觉，一种心灵的或理智的能力，它能够使我们正确无误地掌握事物的本质，并认识它们。同时他进一步假定，如果我们直观地认识了一种本质，我们就必定能够描述它，并因此而定义它。总结上述简要分析，我相信我们能够对亚里土多德的尽善尽美的知识理念作出一种公正的描述，只要我们可以说，亚里土多德认为一切探求的终极目标在于编纂一部包括有关一切本质的直觉定义的百科全书，也即是说，既包括它们的名称，也包括它们的定义项；亚里土多德认为，知识的进步，就在于这部百科全书的逐渐积累，在于它的扩展和对书中空白的填补，当然，也在于从有关“事实整体”的百科全书中推衍出三段论，这种三段论构成推理的知识。
以上内容引用自波普尔的《开放社会》。波普尔对于柏拉图和亚里士多德的很多批判是非常有道理的，但是他也犯了一个严重的错误——过度批判。这种过度批判表现在两个重要方面：第一，对于亚里士多德定义重要性的批判矫枉过正；第二，对于柏拉图本质主义的批判矫枉过正。
我们先看波普尔对于亚里士多德定义重要性的批判矫枉过正。毫无疑问，亚里士多德对于定义的重要性给予了过高的期盼。我们从欧式几何和非欧几何的历史事实就可以看出，即使对于像数学这样能够准确无误的定义所有使用概念的学科来说，单单凭借定义的概念根本没有办法判断究竟哪一种几何是『真实的』。因为每一种类型的几何都可以是内在毫无逻辑矛盾的完整体系，所以每一种在逻辑上都是绝对正确的，但是却不是每一种都是符合『现实』的。准确的定义只能告诉我们『我们自己』讨论的对象究竟是什么，除此之外它并不能给出更多的信息。然而波普尔对于定义，尤其是社会科学概念的准确定义的重要性给出了截然相反的态度。
我们或许可以说，本质主义的解释对定义的阅读方法是‘标准的”，也即是说，是从左向右阅读。同时，我也能够说，一个定义如果像它在现代科学中标准地使用的那样，却应该是从后往前或从右向左阅读。因为它是由定义项开始，为它寻找一个简短的标识。（……）带有“从右往左”这种研讨特征的定义的科学用法，可以被称作唯名论的解释，与亚里土多德主义的或本质主义的解释是相对立的。在现代科学中，只有唯名论的定义会发生，也即是说，引入简短的标识或符号，为的是缩短冗长的叙述。（……）我们的“科学知识”，在这一术语能被正确地使用的意义上说，即使我们消除掉所有的定义，它完全也不会受到影响。唯一的影响是发生在我们的语言方面，所丧失的仅仅是简洁，而不是精确性。（不应该认为这意味着，在科学中为了简洁，就不存在引入定义的迫切的实际需要。）在这种关于定义的作用的观点与亚里士多德的观点之间，几乎没有比它更大的对立了。由于亚里士多德的本质主义的定义是我们的一切知识所衍生的原理；因而它们包含了我们的一切知识；它们可用来以较长的程式来替代较短的程式。与之相反，科学的或唯名论的定义并不包含任何知识，甚至也不包含任何的“意见”；它们只不过是引入了新的约定性的简短的标识；它们缩短较长的叙述。
从上面的引用可以看出，波普尔把从左往右式的定义称为本质主义的定义，而从右往左式的定义称为唯名论的定义，并且认为这两种定义是截然相对的。然而定义就是定义，不论是从左往右还是从右往左，它们都必须是等价的才可以。不论是亚里士多德还是波普尔，他们都赋予了定义太多不必要的意义。这种不必要的意义对于亚里士多德来说就是：“ 亚里土多德和柏拉图都认为，我们拥有一种理智直观的能力，运用这一能力我们就能认识本质，并发现哪种定义是正确的。”柏拉图和亚里士多德的本质主义最后必然会导致『哲人王或者超人』的诞生。原因很简单，就像波普尔所反驳的那样：“这些经验虽然对我们在科学上的努力可能很重要，但它却从不能用来建立任何观念或理论的真理，无论某些人可能如何强烈地直觉地感受到它一定是真的或它是‘自明的’。这样的直观甚至不能用作一种论证，尽管它们可以鼓励我们去寻求论证。因为某些其他人可能有一种强烈的直觉，同一种理论是错误的。”显然即使一些人认为是能够正确的能够反映事物本质的直觉，它完全可以和另外一些人同样认为是能够正确的能够反映事物本质的直觉相冲突。世界上最难统一的恐怕就是人的意见，当这种显然会发生的冲突出现之后，按照柏拉图或者亚里士多德的想法就只能最后裁决于伟大圣明的『哲人王或者超人』了。
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